لكل مثلث دائرة فريدة تحيط به وتشمل رؤوسه الثلاثة، ويتحكم في تعيينها مفهوم المحاور:
| المفهوم الهندسي | التعريف والدور | النتيجة القطعية |
|---|---|---|
| محور قطعة | المستقيم العمودي على القطعة في منتصفها تماماً. | كل نقطة من المحور تبعد بنفس المسافة عن طرفي القطعة. |
| مركز الدائرة المحيطة | نقطة تلاقي محاور أضلاع المثلث الثلاثة ($O$). | تساوي المسافات الفاصلة: $OA = OB = OC$ وهي نصف القطر $R$. |
إذا كان المثلث قائماً، فإن خاصية الدائرة المحيطة به تأخذ حكماً هندسياً وميكانيكياً شديد البساطة والصرامة:
- مركز الدائرة المحيطة: هو منتصف الوتر تماماً.
- طول المتوسط المتعلق بالوتر: يساوي نصف طول الوتر.
إذا كان $ABC$ قائماً في $A$، فإن منتصف $[BC]$ هو المركز، و $AM = \frac{BC}{2}$.
عندما تشترك الزوايا في حصر نفس القوس من الدائرة، تحكم علاقاتها القوانين التالية:
| نوع الزاوية | التعريف البنيوي | العلاقة الحاكمة |
|---|---|---|
| الزاوية المركزية | رأسها هو مركز الدائرة $O$. | تقيس القوس المحصور مباشرة. |
| الزاوية المحيطية | رأسها يقع على محيط الدائرة. | تساوي نصف قياس الزاوية المركزية المشتركة معها في نفس القوس. |
$$\widehat{\text{inscribed angle}} = \frac{1}{2} \widehat{\text{central angle}}$$
نتيجة مباشرة: كل زاويتين محيطيتين تحصران نفس القوس هما زاويتان متقايستان تماماً.
دائرة مركزها $O$. لدينا زاوية مركزية $\widehat{AOB} = 80^\circ$ تحصر القوس $AB$. لتكن $M$ نقطة من الدائرة بحيث $\widehat{AMB}$ زاوية محيطية تحصر نفس القوس. احسب قيس $\widehat{AMB}$.
| المرحلة | القانون والتعويض | النتيجة |
|---|---|---|
| تطبيق الخاصية | $\widehat{AMB} = \frac{1}{2} \widehat{AOB}$ | الاشتراك في نفس القوس |
| الحساب العددي | $\widehat{AMB} = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ$ | $\widehat{AMB} = 40^\circ$ |
المحاور تُنشئ المراكز، ومنتصف وتر القائم يختزل الحساب، والزاوية المحيطية نصف المركزية شريطة حبس نفس القوس.