مبرهنة فيثاغورس والعلاقات المترية في المثلث القائم
1. الشروط الحاكمة لمبرهنة فيثاغورس
لتطبيق مبرهنة فيثاغورس وحساب أطوال أضلاع المثلث، وجب تحقق شرط بنيوي واحد وقطعي:
| الشرط | التفسير الهندسي | النتيجة المباشرة |
|---|---|---|
| الزاوية القائمة | المثلث $ABC$ قائم في الرأس $A$ (أي أن $(AB) \perp (AC)$). | تعيين الوتر $[BC]$ كأطول ضلع مقابل للزاوية القائمة. |
2. الدستور الهندسي (مربع الوتر)
إذا كان المثلث $ABC$ قائماً في $A$، فإن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين القائمين:
$$BC^2 = AB^2 + AC^2$$
3. المبرهنة العكسية لفيثاغورس (إثبات التعامد)
نستعمل المبرهنة العكسية عندما تكون أطوال الأضلاع الثلاثة معلومة، ونريد وضع اليد على شرط التعامد وإثبات أن المثلث قائم:
- نحدد الضلع الأطول ونحسب مربعه منفرداً (ليكن $BC^2$).
- نحسب مجموع مربعي الضلعين الآخرين ($AB^2 + AC^2$).
النتيجة: إذا تطابقت النتيجتان ($BC^2 = AB^2 + AC^2$)، فإن المثلث قائم حتماً في $A$، والمستقيمين متعامدان.
4. مثال تطبيقي (عزل وحساب ضلع قائم)
مثلث $ABC$ قائم في $A$ حيث الوتر $BC = 10$ والضلع القائم $AB = 6$. احسب الطول $AC$.
| المرحلة | التعويض والحساب | النتيجة |
|---|---|---|
| صياغة الدستور | $BC^2 = AB^2 + AC^2 \implies 10^2 = 6^2 + AC^2$ | معادلة بمجهول واحد |
| عزل المجهول | $AC^2 = 100 - 36 \implies AC^2 = 64$ | طرح المربعات |
| الحساب بالجذر | $AC = \sqrt{64} = 8$ | $AC = 8$ |
قاعدة:
المبرهنة المباشرة تحسب الأطوال بتوظيف التعامد، والمبرهنة العكسية تثبت التعامد والزاوية القائمة بتوظيف الأطوال.