تخمين نهاية دالة وحسابها تحليلياً

1. التخمين البياني لنهاية دالة

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $]-1; 0[ \cup ]0; +\infty[$ بالعبارة:

$f(x) = \frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$

خمن بيانيا قيمة نهاية الدالة $f$ عندما يؤول المتغير $x$ إلى $0$. اختر الإجابة الصحيحة من بين المقترحات:

استخدم عجلة الفأرة لتكبير الرسم وملاحظة قيم $f(x)$ عندما يؤول $x$ إلى $0$.

2. حساب النهاية باستعمال العدد المشتق

يمكن إعادة كتابة عبارة النهاية عند حالة عدم التعيين من الشكل $\frac{0}{0}$ على النحو التالي:

$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{0+1}}{x-0}$

تطابق هذه الكتابة تعريف العدد المشتق لدالة $g$ عند القيمة $x_0$ المعرف بالقانون:

$g'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}$

بوضع الدالة $g(x) = \sqrt{x+1}$ و $x_0 = 0$، يكون $g(0) = 1$.

احسب العدد المشتق $g'(0)$ لتحديد قيمة النهاية حاسباً، ثم اختر الإجابة الصحيحة:

تذكير بقاعدة الاشتقاق:
إذا كانت $u$ دالة موجبة تماماً وقابلة للاشتقاق فإن: $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$