حالات تقايس المثلثات
1. مفهوم التقايس (التطابق التام)
يقال عن مثلثين أنهما متقايسان إذا كانا قابلين للتطابق التام بواسطة تحويل نقطي يحافظ على المسافات (كالانسحاب أو الدوران). هذا يعني تساوى الأضلاع المتناظرة وتساوى الزوايا المتناظرة تماماً.
2. الحالات الثلاث لتقايس المثلثات العشوائية
لإثبات تقايس مثلثين، ليس بالضرورة برهنة تساوي العناصر الستة (3 أضلاع و3 زوايا)، بل يكفي تحقق إحدى الحالات الثلاث التالية:
| الحالة | العناصر المشتركة اللازمة | التفسير الرياضي |
|---|---|---|
| الحالة الأولى (ض.ض.ض) | تقايس الأضلاع الثلاثة. | تتساوى أطوال الأضلاع المتناظرة في كلا المثلثين مثنى مثنى. |
| الحالة الثانية (ض.ز.ض) | ضلعان والزاوية المحصورة بينهما. | يتساوى طولا ضلعين وزاوية محصورة بينهما مع نظائرها في المثلث الآخر. |
| الحالة الثالثة (ز.ض.ز) | زاويتان والضلع المحصور بينهما. | يتساوى قياس زاويتين وطول الضلع الواصل بين رأسيهما مع نظائرها. |
3. حالة خاصة: تقايس المثلثات القائمة
بما أن الزاوية القائمة ($90^\circ$) معلومة وثابتة في المثلث القائم، فإن شروط التقايس تختزل آليا ويكفي تحقق أحد الشرطين:
- الوتر وضلع قائم: يتساوى طول الوتر وطول ضلع قائم مع نظيريهما.
- الوتر وزاوية حادة: يتساوى طول الوتر وقيس زاوية حادة مع نظيريهما.
4. مثال تطبيقي (توظيف التقايس لإثبات منتصف قطعة)
ليكن $ABCD$ متوازي أضلاع مركزه النقطة $O$. برهن أن $O$ هي منتصف القطعة $[AC]$ باستعمال تقايس المثلثات.
| المرحلة | البرهان والهندسة الصارمة | النتيجة البنائية |
|---|---|---|
| اختيار المثلثين | نعتبر المثلثين $OAB$ و $OCD$. | تحديد حيز المقارنة |
| جمع العناصر | 1. $AB = CD$ (ضلعان متقابلان في متوازي أضلاع). 2. $\widehat{OAB} = \widehat{OCD}$ (بالتبادل الداخلي). 3. $\widehat{OBA} = \widehat{ODC}$ (بالتبادل الداخلي). | تحقق الحالة الثالثة (ز.ض.ز) |
| الاستنتاج القطعي | المثلثان $OAB$ و $OCD$ متقايسان تماماً، ومنه ينتج تساوي الأضلاع المتبقية: $OA = OC$. | $O$ منتصف $[AC]$ حتماً |
التقايس هو أداة غير مباشرة لنقل الأطوال والزوايا؛ نثبت تقايس الأشكال أولاً، لنستنتج تساوي العناصر المجهولة ثانياً.