نقول عن مثلثين أنهما متشابهان إذا كان أحدهما تكبيراً أو تصغيراً للآخر. رياضيا: يتشابه مثلثان إذا كانت زواياهما المتناظرة متقايسة تماماً، وأطوال أضلاعهما المتناظرة متناسبة فيما بينها تحقق نسبة تشابه ثابتة $k$.
2. الحالات الثلاث لتشابه المثلثات
لقفل برهان التشابه دون تشتيت، يكفي التحقق من قيام إحدى الحالات الثلاث التالية:
الحالة
العناصر المشتركة اللازمة
التفسير الرياضي
الحالة الأولى (ز.ز)
تقايس زاويتين.
إذا تقايست زاويتان من مثلث مع زاويتين من مثلث آخر، فإن المثلثين متشابهان حتماً (الزاوية الثالثة تتطابق تلقائياً).
الحالة الثانية (ض.ز.ض)
تناسب ضلعين وتقايس الزاوية المحصورة.
إذا تقايست زاوية من مثلث مع زاوية من مثلث آخر، وكانت أطوال الأضلاع المحيطة بهما متناسبة.
الحالة الثالثة (ض.ض.ض)
تناسب الأضلاع الثلاثة كلياً.
إذا كانت أطوال أضلاع المثلث الأول متناسبة مع أطوال أضلاع المثلث الثاني مثنى مثنى: $\frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c} = k$.
3. ميكانيكية النسبة $k$ (أثر الحجم والمساحة)
لتكن $k$ نسبة التشابه الناتجة من قسمة طول الضلع الجديد على نظيره الأصلي. هذه النسبة تتحكم في البنية كالتالي:
- إذا كان $k > 1$: فإن التحول الهندسي هو تكبير للأبعاد.
- إذا كان $0 < k < 1$: فإن التحول الهندسي هو تصغير للأبعاد.
- إذا كان $k = 1$: يؤول التشابه إلى تقايس تام (تطابق).
تنبيه خاص للمساحات: إذا كانت نسبة تشابه الأطوال هي $k$، فإن نسبة تحول المساحات هي حتماً مربع النسبة: $S' = k^2 \times S$.
4. مثال تطبيقي (حساب طول ضلع بالتشابه)
مثلثان $ABC$ و $DEF$ فيهما: $\widehat{A} = \widehat{D}$ و $\widehat{B} = \widehat{E}$. الأطوال المعلومة هي: $AB = 5$، $AC = 4$، و $DE = 15$. احسب الطول $DF$.
المرحلة
الخطوات البرهانية
النتيجة
إثبات التشابه
لدينا زاويتان متقايستان مثنى مثنى ($\widehat{A}=\widehat{D}$ و $\widehat{B}=\widehat{E}$).