العلاقات المترية في المثلث: مبرهنة الكاشي ومبرهنة المتوسط
1. مبرهنة الكاشي
في أي مثلث $ABC$ كيفي، نرمز لأطوال الأضلاع المقابلة للرؤوس $A$، $B$ و $C$ بالرموز $a$، $b$ و $c$ على الترتيب (حيث $BC=a$، $AC=b$، $AB=c$). تسمح مبرهنة الكاشي (قانون جيب التمام) بحساب طول ضلع مجهول بمعرفة الضلعين الآخرين وقيس الزاوية المحصورة بينهما وفق العلاقات التالية:
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\hat{A})$$
$$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(\hat{B})$$
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\hat{C})$$
ملاحظة منهجية: إذا كانت إحدى الزوايا قائمة (مثلاً $\cos(90^\circ)=0$)، تؤول العبارة مباشرة إلى مبرهنة فيثاغورس ($a^2 = b^2 + c^2$).
2. مبرهنة المتوسط
ليكن $ABC$ مثلثاً كيفياً، و $I$ منتصف الضلع $[BC]$. تسمى القطعة المستقيمة $[AI]$ بالمتوسط المتعلق بالضلع $[BC]$. تسمح مبرهنة المتوسط بحساب طول هذا المتوسط انطلاقاً من أطوال أضلاع المثلث الثلاثة وفق العلاقة التالية:
$$AB^2 + AC^2 = 2AI^2 + \frac{BC^2}{2}$$
البرهان الشعاعي: تنتج هذه المبرهنة بتطبيق علاقة شال وتطوير المربع السلمي للعبارتين $\vec{AB} = \vec{AI} + \vec{IB}$ و $\vec{AC} = \vec{AI} + \vec{IC}$، مع الاستعانة بشرط المنتصف ($\vec{IB} + \vec{IC} = \vec{0}$).
3. أهمية العلاقات المترية وتوظيفها
| الخاصية | المعطيات اللازمة | الهدف الحسابي |
|---|---|---|
| مبرهنة الكاشي | ضلعان وزاوية محصورة بينهما (أو أطوال الأضلاع الثلاثة). | حساب طول الضلع الثالث، أو تعيين قيس زاوية مجهولة في المثلث. |
| مبرهنة المتوسط | أطوال أضلاع المثلث الثلاثة ($AB$، $AC$، $BC$). | حساب طول المتوسط $[AI]$ المتعلق بالضلع المعين. |
4. مثال تطبيقي (حساب طول ضلع وطول متوسط)
ليكن $ABC$ مثلثاً فيه: $AB = 5$، $AC = 7$، وقيس الزاوية $\hat{A} = 60^\circ$. لتكن $I$ منتصف القطعة $[BC]$. احسب الطول $BC$ ثم استنتج طول المتوسط $AI$.
| المرحلة الحسابية | خطوات التعويض والحساب | النتيجة الهندسية |
|---|---|---|
| 1. حساب الطول $BC$ | $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2(AB)(AC)\cos(\hat{A})$ $BC^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)\cos(60^\circ)$ $BC^2 = 25 + 49 - 70(0.5) = 74 - 35 = 39$ | $BC = \sqrt{39}$ |
| 2. حساب المتوسط $AI$ | $AB^2 + AC^2 = 2AI^2 + \frac{BC^2}{2}$ $5^2 + 7^2 = 2AI^2 + \frac{39}{2} \implies 74 = 2AI^2 + 19.5$ $2AI^2 = 74 - 19.5 = 54.5 \implies AI^2 = 27.25$ | $AI = \sqrt{27.25}$ |
تسمح مبرهنة الكاشي بحساب المسافات والزوايا في أي مثلث كيفي دون الارتباط بوجود زاوية قائمة، في حين تربط مبرهنة المتوسط بين طول المتوسط وأطوال أضلاع المثلث.