العلاقات المترية في المثلث: مبرهنة الكاشي ومبرهنة المتوسط
لا محاولة بعد...
1. مبرهنة الكاشي
في أي مثلث $ABC$ كيفي، نرمز لأطوال الأضلاع المقابلة للرؤوس $A$، $B$ و $C$ بالرموز $a$، $b$ و $c$ على الترتيب (حيث $BC=a$، $AC=b$، $AB=c$). تسمح مبرهنة الكاشي (قانون جيب التمام) بحساب طول ضلع مجهول بمعرفة الضلعين الآخرين وقيس الزاوية المحصورة بينهما وفق العلاقات التالية:
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\hat{A})$$
$$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(\hat{B})$$
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\hat{C})$$
ملاحظة منهجية: إذا كانت إحدى الزوايا قائمة (مثلاً $\cos(90^\circ)=0$)، تؤول العبارة مباشرة إلى مبرهنة فيثاغورس ($a^2 = b^2 + c^2$).
2. مبرهنة المتوسط
ليكن $ABC$ مثلثاً كيفياً، و $I$ منتصف الضلع $[BC]$. تسمى القطعة المستقيمة $[AI]$ بالمتوسط المتعلق بالضلع $[BC]$. تسمح مبرهنة المتوسط بحساب طول هذا المتوسط انطلاقاً من أطوال أضلاع المثلث الثلاثة وفق العلاقة التالية:
$$AB^2 + AC^2 = 2AI^2 + \frac{BC^2}{2}$$
البرهان الشعاعي: تنتج هذه المبرهنة بتطبيق علاقة شال وتطوير المربع السلمي للعبارتين $\vec{AB} = \vec{AI} + \vec{IB}$ و $\vec{AC} = \vec{AI} + \vec{IC}$، مع الاستعانة بشرط المنتصف ($\vec{IB} + \vec{IC} = \vec{0}$).
3. أهمية العلاقات المترية وتوظيفها
الخاصية
المعطيات اللازمة
الهدف الحسابي
مبرهنة الكاشي
ضلعان وزاوية محصورة بينهما (أو أطوال الأضلاع الثلاثة).
حساب طول الضلع الثالث، أو تعيين قيس زاوية مجهولة في المثلث.
مبرهنة المتوسط
أطوال أضلاع المثلث الثلاثة ($AB$، $AC$، $BC$).
حساب طول المتوسط $[AI]$ المتعلق بالضلع المعين.
4. مثال تطبيقي (حساب طول ضلع وطول متوسط)
ليكن $ABC$ مثلثاً فيه: $AB = 5$، $AC = 7$، وقيس الزاوية $\hat{A} = 60^\circ$. لتكن $I$ منتصف القطعة $[BC]$. احسب الطول $BC$ ثم استنتج طول المتوسط $AI$.
تسمح مبرهنة الكاشي بحساب المسافات والزوايا في أي مثلث كيفي دون الارتباط بوجود زاوية قائمة، في حين تربط مبرهنة المتوسط بين طول المتوسط وأطوال أضلاع المثلث.