معادلة مستقيم بشعاع ناظمي ومعادلة الدائرة
1. المستقيم المعرّف بنقطة وشعاع ناظمي
نقول عن شعاع غير معدوم $\vec{n}=\binom{a}{b}$ أنه شعاع ناظمي للمستقيم $(\Delta)$ إذا كان حامله عمودياً على هذا المستقيم. لتكن $A(x_A, y_A)$ نقطة معلومة من $(\Delta)$، تنتمي النقطة $M(x, y)$ للمستقيم إذا وفقط إذا كان الشعاع $\vec{AM}$ عمودياً على الشعاع الناظمي $\vec{n}$:
$$\vec{AM} \cdot \vec{n} = 0 \iff a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0$$
النتيجة: بنشر وتبسيط العبارة، نجد المعادلة الديكارتية للمستقيم من الشكل: $ax + by + c = 0$، حيث مركبات الشعاع الناظمي هي معاملات $x$ و $y$.
| المعادلة الديكارتية للمستقيم | الشعاع الناظمي $\vec{n}$ | شعاع التوجيه $\vec{u}$ |
|---|---|---|
| $ax + by + c = 0$ | $\vec{n} = \binom{a}{b}$ | $\vec{u} = \binom{-b}{a}$ |
2. المعادلة الديكارتية لدائرة معرفة بمركزها ونصف قطرها
الدائرة $(\mathcal{C})$ التي مركزها النقطة الثابتة $\Omega(x_\Omega, y_\Omega)$ ونصف قطرها هو العدد الحقيقي الموجب $R$، هي مجموعة النقط $M(x, y)$ التي تحقق المسافة: $\Omega M = R$. بتربيع الطرفين وتطبيق قانون المسافة بين نقطتين، نجد معادلة الدائرة:
$$(x - x_\Omega)^2 + (y - y_\Omega)^2 = R^2$$
ملاحظة: بنشر المتطابقات الشهيرة في العبارة السابقة، تؤول المعادلة إلى الشكل: $x^2 + y^2 - 2x_\Omega x - 2y_\Omega y + c = 0$.
3. معادلة دائرة معرفة بأحد أقطارها
إذا كانت الدائرة $(\mathcal{C})$ معرفة بقطرها $[AB]$ حيث $A$ و $B$ نقطتان معلومتان، فإن كل نقطة $M(x, y)$ من الدائرة تحقق شرط تعامد الشعاعين $\vec{MA}$ و $\vec{MB}$:
$$\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0 \iff (x_A - x)(x_B - x) + (y_A - y)(y_B - y) = 0$$
4. مثال تطبيقي (تعيين معادلة مستقيم ومعادلة دائرة)
أوجد المعادلة الديكارتية للمستقيم $(\Delta)$ المار بالنقطة $A(1, 4)$ والذي يقبل $\vec{n}=\binom{3}{-2}$ كشعاع ناظمي له. ثم أوجد معادلة الدائرة التي مركزها $\Omega(2, -1)$ ونصف قطرها $R=5$.
| المطلوب | خطوات التعويض والحساب | معادلة المنحنى |
|---|---|---|
| معادلة المستقيم $(\Delta)$ | بما أن $\vec{n}=\binom{3}{-2}$ شعاع ناظمي، فإن المعادلة تكتب على الشكل: $3x - 2y + c = 0$. نعوض إحداثيات النقطة $A(1,4)$ لتعيين قيمة $c$: $3(1) - 2(4) + c = 0 \implies 3 - 8 + c = 0 \implies c = 5$. | $(\Delta): 3x - 2y + 5 = 0$ |
| معادلة الدائرة $(\mathcal{C})$ | نعوض مباشرة في قانون المركز ونصف القطر: $(x - 2)^2 + (y - (-1))^2 = 5^2$ $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25$. | $(\mathcal{C}): (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25$ |
يحدد الشعاع الناظمي معاملات $x$ و $y$ في المعادلة الديكارتية للمستقيم مباشرة عن طريق التعامد؛ في حين تتحدد معادلة الدائرة إما بمعرفة المركز ونصف القطر أو بالاعتماد على الجداء السلمي لشعاعين متوجّهين نحو طرفي القطر.