1. العبارة التحليلية للجداء السلمي

في معلم متعامد ومتجانس $(O; \vec{i}, \vec{j})$، إذا كان لدينا شعاعان $\vec{u}=\binom{x}{y}$ و $\vec{v}=\binom{x'}{y'}$، فإن الجداء السلمي بينهما يحسب بالعلاقة التالية:

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = x \cdot x' + y \cdot y'$$

ملاحظة منهجية: هذه العبارة لا تنطبق إلا إذا كان المعلم متعامداً ومتجانساً.

2. حساب الطويلة والزوايا تحليلياً

بالاعتماد على أن المربع السلمي للشعاع يساوي مربع طويلته ($\vec{u}^2 = \|\vec{u}\|^2$)، تسمح العبارة التحليلية بحساب الأطوال وقيس الزوايا كالتالي:

- طويلة الشعاع $\vec{u}$: هي جذر مجموع مربعي مركبتيه: $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

- حساب جيب تمام زاوية ($\cos \theta$): بدمج العبارتين الهندسية والتحليلية نجد:

$$\cos(\theta) = \frac{x \cdot x' + y \cdot y'}{\sqrt{x^2 + y^2} \times \sqrt{x'^2 + y'^2}}$$

3. الشرط التحليلي لتعامد شعاعين

4. مثال تطبيقي (حساب الجداء السلمي واستنتاج التعامد)

في معلم متعامد ومتجانس، نعتبر الشعاعين $\vec{u}=\binom{2}{3}$ و $\vec{v}=\binom{-6}{4}$. احسب $\vec{u} \cdot \vec{v}$، ثم استنتج طبيعة الزاوية المحصورة بينهما.

5. تطبيقات وتمارين

---