العبارة التحليلية للجداء السلمي في معلم
1. العبارة التحليلية للجداء السلمي
في معلم متعامد ومتجانس $(O; \vec{i}, \vec{j})$، إذا كان لدينا شعاعان $\vec{u}=\binom{x}{y}$ و $\vec{v}=\binom{x'}{y'}$، فإن الجداء السلمي بينهما يحسب بالعلاقة التالية:
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = x \cdot x' + y \cdot y'$$
ملاحظة منهجية: هذه العبارة لا تنطبق إلا إذا كان المعلم متعامداً ومتجانساً.
2. حساب الطويلة والزوايا تحليلياً
بالاعتماد على أن المربع السلمي للشعاع يساوي مربع طويلته ($\vec{u}^2 = \|\vec{u}\|^2$)، تسمح العبارة التحليلية بحساب الأطوال وقيس الزوايا كالتالي:
- طويلة الشعاع $\vec{u}$: هي جذر مجموع مربعي مركبتيه: $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
- حساب جيب تمام زاوية ($\cos \theta$): بدمج العبارتين الهندسية والتحليلية نجد:
$$\cos(\theta) = \frac{x \cdot x' + y \cdot y'}{\sqrt{x^2 + y^2} \times \sqrt{x'^2 + y'^2}}$$
3. الشرط التحليلي لتعامد شعاعين
| الوضعية الهندسية | الشرط التحليلي | النتيجة الهندسية |
|---|---|---|
| $\vec{u} \perp \vec{v}$ | $x \cdot x' + y \cdot y' = 0$ | يكون الشعاعان غير المعدومين متعامدين إذا وفقط إذا انعدم مجموع جداء مركباتهما المتناظرة. |
4. مثال تطبيقي (حساب الجداء السلمي واستنتاج التعامد)
في معلم متعامد ومتجانس، نعتبر الشعاعين $\vec{u}=\binom{2}{3}$ و $\vec{v}=\binom{-6}{4}$. احسب $\vec{u} \cdot \vec{v}$، ثم استنتج طبيعة الزاوية المحصورة بينهما.
| المرحلة الحسابية | التطبيق والتعويض التحليلي | النتيجة |
|---|---|---|
| 1. حساب الجداء السلمي | $\vec{u} \cdot \vec{v} = (2 \times -6) + (3 \times 4) = -12 + 12$ | $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ |
| 2. استنتاج الوضعية | بما أن الجداء السلمي معدوم، فإن الشعاعين متعامدان. | $\vec{u} \perp \vec{v}$ |
| 3. قيس الزاوية $\theta$ | بما أن التعامد محقق، فإن جيب تمام الزاوية ينعدم ($\cos \theta = 0$). | $\theta = 90^\circ$ (زاوية قائمة) |
لحساب الجداء السلمي تحليلياً، نجمع جداء الفواصل وجداء التراتيب؛ وإذا كانت النتيجة تساوي الصفر فإن الشعاعين متعامدان.