العبارة الهندسية والشعاعية للجداء السلمي
1. العبارة المثلثية (بدلالة جيب تمام الزاوية المحصورة)
الجداء السلمي لشعاعين غير معدومين $\vec{u}$ و $\vec{v}$ هو عدد حقيقي نرمز له بـ $\vec{u} \cdot \vec{v}$. ويحسب بدلالة طويلتيهما وقيس الزاوية المحصورة بينهما $\theta = (\vec{u}, \vec{v})$ وفق العلاقة التالية:
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\theta)$$
| إشارة العدد الناتج | وضعية الزاوية $\theta$ | التفسير الهندسي |
|---|---|---|
| $\vec{u} \cdot \vec{v} > 0$ | زاوية حادة: $0^\circ \le \theta < 90^\circ$ | الشعاعان في نفس الاتجاه. |
| $\vec{u} \cdot \vec{v} < 0$ | زاوية منفرجة: $90^\circ < \theta \le 180^\circ$ | الشعاعان في اتجاهين متعاكسين. |
| $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ | زاوية قائمة: $\theta = 90^\circ$ (أو أحد الشعاعين معدوم) | الشعاعان متعامدان (حاملاهما متعامدان). |
2. عبارة الإسقاط العمودي
لتكن النقاط $A$، $B$ و $C$ حيث $\vec{u} = \vec{AB}$ و $\vec{v} = \vec{AC}$. لتكن $H$ المسقط العمودي للنقطة $C$ على المستقيم $(AB)$:
$$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot \vec{AH}$$
يؤول حساب الجداء السلمي في هذه الحالة إلى جداء الطولين $AB$ و $AH$ مع مراعاة الاتجاه:
- $AB \times AH$ : إذا كان للشعاعين $\vec{AB}$ و $\vec{AH}$ نفس الاتجاه.
- $- (AB \times AH)$ : إذا كان للشعاعين $\vec{AB}$ و $\vec{AH}$ اتجاهان متعاكسان.
3. المربع السلمي لشعاع
الجداء السلمي لشعاع $\vec{u}$ في نفسه يسمى المربع السلمي ونرمز له بـ $\vec{u}^2$. بما أن قيس الزاوية بين الشعاع ونفسه هو $0^\circ$ و $\cos(0^\circ) = 1$، ينتج:
$$\vec{u}^2 = \|\vec{u}\|^2$$
تسمح هذه الخاصية بتحويل الحساب الشعاعي المربع إلى أطوال هندسية مباشرة: $\vec{AB}^2 = AB^2$.
4. مثال تطبيقي (حساب الجداء السلمي بالإسقاط والتفكيك)
ليكن $ABCD$ مستطيلاً أبعاده هي $AB = 6$ و $AD = 4$. لتكن $I$ منتصف القطعة $[AB]$. احسب الجداء السلمي $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ ثم $\vec{AB} \cdot \vec{DI}$.
| المطلوب | خطوات الحساب والتعويض | النتيجة الهندسية |
|---|---|---|
| $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ | المسقط العمودي للنقطة $C$ على المستقيم $(AB)$ هو النقطة $B$ لأن $ABCD$ مستطيل. إذن: $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot \vec{AB} = AB^2 = 6^2$. | $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 36$ |
| $\vec{AB} \cdot \vec{DI}$ | نستعمل علاقة شال لتفكيك الشعاع الثاني: $\vec{DI} = \vec{DA} + \vec{AI}$ بالتوزيع نجد: $\vec{AB} \cdot (\vec{DA} + \vec{AI}) = \vec{AB} \cdot \vec{DA} + \vec{AB} \cdot \vec{AI}$ بما أن $(AB) \perp (DA)$ فإن $\vec{AB} \cdot \vec{DA} = 0$. بما أن $\vec{AI}$ في نفس اتجاه $\vec{AB}$ وطوله نصفه ($AI=3$): $0 + 6 \times 3$. | $\vec{AB} \cdot \vec{DI} = 18$ |
الجداء السلمي هو مقياس عددي لدرجة توازي الأشعة وتعامدها؛ ينعدم الجداء السلمي تماماً عند التعامد، ويؤول إلى مربع الطول مباشرة عند التوازي في نفس الاتجاه.