1. الأمل الرياضي (المعدل)

هو المتوسط الحسابي المرجح بقيم الاحتمالات:

$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

• لعبة عادلة: $E(X) = 0$.

• لعبة مربحة: $E(X) > 0$.

2. التباين والانحراف المعياري

التباين يقيس مدى تشتت القيم، ويُحسب بصيغة كونيغ-هويغنز:

$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$

$V(X) = \left( \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i \right) - [E(X)]^2$

الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي للتباين:

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$

3. خواص التحويل الخطي

لأي عددين حقيقيين $a$ و $b$:

• $E(aX + b) = aE(X) + b$

• $V(aX + b) = a^2 V(X)$

• $\sigma(aX + b) = |a| \sigma(X)$

---