التمثيل الوسيطي لمستقيم في الفضاء
1. المفهوم الشعاعي لتوجيه المستقيم
يتحدد المستقيم $(D)$ في الفضاء التحليلي بمعرفة نقطة معلومة ينطلق منها وشعاع توجيه يحدد ميله الحركي الخطي.
التعريف: لتكن $A(x_A; y_A; z_A)$ نقطة معلومة من الفضاء، و $\vec{u}(a; b; c)$ شعاعاً غير معدوم. المستقيم $(D)$ المار بالنقطة $A$ والموجه بالشعاع $\vec{u}$ هو مجموعة النقط $M(x; y; z)$ من الفضاء التي تحقق الارتباط الخطي التالي:
$$\vec{AM} = t \cdot \vec{u} \quad \text{حيث} \quad t \in \mathbb{R}$$
يُسمى العدد الحقيقي $t$ بالوسيط (Parameter).
2. الجملة التحليلية للتمثيل الوسيطي
بتفكيك العلاقة الشعاعية $\vec{AM} = t \cdot \vec{u}$ إلى مركباتها التحليلية الثلاث على المحاور $(Ox)، (Oy)، (Oz)$، نستنتج الجملة الوسيطية التالية للمستقيم:
$$(D): \begin{cases} x = x_A + a \cdot t \\ y = y_A + b \cdot t \\ z = z_A + c \cdot t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$
| المكون التحليلي | المدلول الهندسي في الجملة | طبيعة المقدار الرياضي |
|---|---|---|
| $(x_A; y_A; z_A)$ | إحداثيات النقطة الثابتة المعلومة التي يشملها المستقيم. | ثوابت عددية حقيقية. |
| $(a; b; c)$ | مركبات شعاع التوجيه $\vec{u}$ (معاملات الوسيط $t$). | ثوابت توجيهية غير معدومة معاً. |
| $t$ | الوسيط الحقيقي الحركي الذي بمسحه لـ $\mathbb{R}$ تتحدد نقاط المستقيم. | متغير وسيطي حقيقي. |
3. مثال تطبيق (كتابة تمثيل وسيطي واستخراج نقط)
اكتب تمثيلاً وسيطياً للمستقيم $(D)$ المار بالنقطة $A(1; -2; 3)$ والموجه بالشعاع $\vec{u}(4; 0; -1)$، ثم تحقق هل النقطة $B(5; -2; 2)$ تنتمي إلى هذا المستقيم.
| المرحلة التحليلية | الخطوات الجبرية والتعويض | التعليل والنتيجة |
|---|---|---|
| 1. الصياغة المباشرة للتمثيل | التعويض المباشر في الدستور الجبري: $x = 1 + 4t$ $y = -2 + 0t$ $z = 3 - 1t$ | $$(D): \begin{cases} x = 1 + 4t \\ y = -2 \\ z = 3 - t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$ |
| 2. فحص انتماء النقطة $B$ | نعوض إحداثيات النقطة $B(5; -2; 2)$ داخل الجملة المستخرجة: $\begin{cases} 5 = 1 + 4t \implies 4t = 4 \implies t = 1 \\ -2 = -2 \quad (\text{محققة}) \\ 2 = 3 - t \implies t = 3 - 2 \implies t = 1 \end{cases}$ | بما أن قيمة الوسيط $t$ ثابتة وموحدة ($t=1$) في جميع المعادلات. |
| 3. القرار النهائي | المنظومة متسقة جبرياً، إذن النقطة $B$ تنتمي تماماً إلى المستقيم $(D)$. | $B \in (D)$ عند القيمة الوسيطية $t=1$. |
التمثيل الوسيطي للمستقيم ليس وحيداً؛ فتبديل النقطة المعلومة بنقطة أخرى من المستقيم، أو ضرب مركبات شعاع التوجيه في عدد حقيقي غير معدوم، يعطي تمثيلاً وسيطياً جديداً مكافئاً هندسياً للتمثيل الأول.