يتحدد المستقيم $(D)$ في الفضاء التحليلي بمعرفة نقطة معلومة ينطلق منها وشعاع توجيه يحدد ميله الحركي الخطي.
التعريف: لتكن $A(x_A; y_A; z_A)$ نقطة معلومة من الفضاء، و $\vec{u}(a; b; c)$ شعاعاً غير معدوم. المستقيم $(D)$ المار بالنقطة $A$ والموجه بالشعاع $\vec{u}$ هو مجموعة النقط $M(x; y; z)$ من الفضاء التي تحقق الارتباط الخطي التالي:
$$\vec{AM} = t \cdot \vec{u} \quad \text{حيث} \quad t \in \mathbb{R}$$
يُسمى العدد الحقيقي $t$ بالوسيط (Parameter).
2. الجملة التحليلية للتمثيل الوسيطي
بتفكيك العلاقة الشعاعية $\vec{AM} = t \cdot \vec{u}$ إلى مركباتها التحليلية الثلاث على المحاور $(Ox)، (Oy)، (Oz)$، نستنتج الجملة الوسيطية التالية للمستقيم:
$$(D): \begin{cases} x = x_A + a \cdot t \\ y = y_A + b \cdot t \\ z = z_A + c \cdot t
\end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$
المكون التحليلي
المدلول الهندسي في الجملة
طبيعة المقدار الرياضي
$(x_A; y_A; z_A)$
إحداثيات النقطة الثابتة المعلومة التي يشملها المستقيم.
الوسيط الحقيقي الحركي الذي بمسحه لـ $\mathbb{R}$ تتحدد نقاط المستقيم.
متغير وسيطي حقيقي.
3. مثال تطبيق (كتابة تمثيل وسيطي واستخراج نقط)
اكتب تمثيلاً وسيطياً للمستقيم $(D)$ المار بالنقطة $A(1; -2; 3)$ والموجه بالشعاع $\vec{u}(4; 0; -1)$، ثم تحقق هل النقطة $B(5; -2; 2)$ تنتمي إلى هذا المستقيم.
المرحلة التحليلية
الخطوات الجبرية والتعويض
التعليل والنتيجة
1. الصياغة المباشرة للتمثيل
التعويض المباشر في الدستور الجبري: $x = 1 + 4t$ $y = -2 + 0t$ $z = 3 - 1t$
$$(D): \begin{cases} x = 1 + 4t \\ y = -2 \\ z = 3 - t
\end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$
2. فحص انتماء النقطة $B$
نعوض إحداثيات النقطة $B(5; -2; 2)$ داخل الجملة المستخرجة: $\begin{cases} 5 = 1 + 4t \implies 4t = 4 \implies t = 1 \\ -2 = -2 \quad (\text{محققة}) \\ 2 = 3 - t \implies t = 3 - 2 \implies t = 1 \end{cases}$
بما أن قيمة الوسيط $t$ ثابتة وموحدة ($t=1$) في جميع المعادلات.
3. القرار النهائي
المنظومة متسقة جبرياً، إذن النقطة $B$ تنتمي تماماً إلى المستقيم $(D)$.
$B \in (D)$ عند القيمة الوسيطية $t=1$.
قاعدة الصيانة المعرفية:
التمثيل الوسيطي للمستقيم ليس وحيداً؛ فتبديل النقطة المعلومة بنقطة أخرى من المستقيم، أو ضرب مركبات شعاع التوجيه في عدد حقيقي غير معدوم، يعطي تمثيلاً وسيطياً جديداً مكافئاً هندسياً للتمثيل الأول.