الشعاع الناظمي والمعادلة الديكارتية لمستوٍ
1. مفهوم الشعاع الناظمي (Normal Vector)
يتحدد اتجاه المستوي في الفضاء التحليلي بشكل قطعي عبر شعاع يكون عمودياً على سطحه، ويسمى بالشعاع الناظمي.
التعريف: نقول عن شعاع غير معدوم $\vec{n}$ إنه شعاع ناظمي للمستوي $(P)$ إذا وفقط إذا كان منحى الشعاع $\vec{n}$ عمودياً على المستوي $(P)$؛ أي أن $\vec{n}$ عمودي على جميع المستقيمات المحتواة في المستوي $(P)$.
الشرط الكافي: يكون الشعاع غير المعدوم $\vec{n}$ ناظمياً للمستوي $(P)$ إذا وفقط إذا كان عمودياً على شعاعي توجيه غير مرتبطين خطياً $\vec{u}$ و $\vec{v}$ من هذا المستوي:
$$\vec{n} \cdot \vec{u} = 0 \quad \text{و} \quad \vec{n} \cdot \vec{v} = 0$$
2. مبرهنة الاستخراج والدستور الديكارتي
نص المبرهنة: في فضاء مزود بمعلم متعامد ومتجانس، كل مستوٍ $(P)$ يشمل نقطة معلومة $A(x_A; y_A; z_A)$ وله شعاع ناظمي $\vec{n}(a; b; c)$، يقبل معادلة ديكارتية وحيدة من الشكل:
$$ax + by + cz + d = 0$$
حيث الحرف الحقيقي $d$ هو ثابت يُحسب بالتعويض المباشر لإحداثيات النقطة $A$ في العلاقة الجبرية:
$$d = -(ax_A + by_A + cz_A)$$
| العنصر التحليلي | الربط الجبري في المعادلة | الدلالة الهندسة |
|---|---|---|
| $(a; b; c)$ | هي معاملات المتغيرات الديكارتية $x, y, z$ بالترتيب المتناظر. | تُمثل بدقة مركبات الشعاع الناظمي $\vec{n}$ للمستوي. |
| $d$ | الحد الثابت المستقل في المعادلة الخطية للمستوي. | يحدد موضع المستوي بالنسبة لمبدأ المعلم $O$. |
3. مثال تطبيقي (كتابة وتعيين المعادلة الديكارتية للمستوي)
عيّن المعادلة الديكارتية للمستوي $(P)$ المار بالنقطة $A(1; 2; -3)$ والذي يقبل $\vec{n}(3; -1; 4)$ كشعاع ناظمي له.
| المرحلة الحسابية | الخطوات الجبرية والتعويض | التعليل |
|---|---|---|
| 1. صياغة الهيكل الأولي | بما أن $\vec{n}(3; -1; 4)$ ناظمي، نعوض المركبات كمعاملات لـ $x, y, z$: $3x - 1y + 4z + d = 0$ | مطابقة مركبات الناظم مع المعادلة الديكارتية. |
| 2. حساب الثابت $d$ | نعوض إحداثيات النقطة $A(1; 2; -3)$ لأنها تنتمي للمستوي ($A \in (P)$): $3(1) - (2) + 4(-3) + d = 0$ $3 - 2 - 12 + d = 0 \implies -11 + d = 0 \implies d = 11$ | التعويض يحقق التوازن الجبري للمستوي. |
| 3. النتيجة النهائية | نكتب المعادلة كاملة بعد دمج الثابت المحسوب. | $$(P): 3x - y + 4z + 11 = 0$$ |
بقراءة مباشرة لأي معادلة ديكارتية لمستوٍ معطى، يمكنك استخراج مركبات شعاعه الناظمي فوراً؛ وهي المعاملات العددية المضروبة في $x$ و $y$ و $z$. تذكر دائماً أن المعادلة الديكارتية ليست وحيدة، فمضاعفة جميع حدود المعادلة يعطي معادلة مكافئة لنفس المستوي الهندسي.