الشعاع الناظمي والمعادلة الديكارتية لمستوٍ

لا محاولة بعد...

1. مفهوم الشعاع الناظمي (Normal Vector)

يتحدد اتجاه المستوي في الفضاء التحليلي بشكل قطعي عبر شعاع يكون عمودياً على سطحه، ويسمى بالشعاع الناظمي.

التعريف: نقول عن شعاع غير معدوم $\vec{n}$ إنه شعاع ناظمي للمستوي $(P)$ إذا وفقط إذا كان منحى الشعاع $\vec{n}$ عمودياً على المستوي $(P)$؛ أي أن $\vec{n}$ عمودي على جميع المستقيمات المحتواة في المستوي $(P)$.

الشرط الكافي: يكون الشعاع غير المعدوم $\vec{n}$ ناظمياً للمستوي $(P)$ إذا وفقط إذا كان عمودياً على شعاعي توجيه غير مرتبطين خطياً $\vec{u}$ و $\vec{v}$ من هذا المستوي:

$$\vec{n} \cdot \vec{u} = 0 \quad \text{و} \quad \vec{n} \cdot \vec{v} = 0$$

2. مبرهنة الاستخراج والدستور الديكارتي

نص المبرهنة: في فضاء مزود بمعلم متعامد ومتجانس، كل مستوٍ $(P)$ يشمل نقطة معلومة $A(x_A; y_A; z_A)$ وله شعاع ناظمي $\vec{n}(a; b; c)$، يقبل معادلة ديكارتية وحيدة من الشكل:

$$ax + by + cz + d = 0$$

حيث الحرف الحقيقي $d$ هو ثابت يُحسب بالتعويض المباشر لإحداثيات النقطة $A$ في العلاقة الجبرية:

$$d = -(ax_A + by_A + cz_A)$$

العنصر التحليلي	الربط الجبري في المعادلة	الدلالة الهندسة
$(a; b; c)$	هي معاملات المتغيرات الديكارتية $x, y, z$ بالترتيب المتناظر.	تُمثل بدقة مركبات الشعاع الناظمي $\vec{n}$ للمستوي.
$d$	الحد الثابت المستقل في المعادلة الخطية للمستوي.	يحدد موضع المستوي بالنسبة لمبدأ المعلم $O$.

3. مثال تطبيقي (كتابة وتعيين المعادلة الديكارتية للمستوي)

عيّن المعادلة الديكارتية للمستوي $(P)$ المار بالنقطة $A(1; 2; -3)$ والذي يقبل $\vec{n}(3; -1; 4)$ كشعاع ناظمي له.

المرحلة الحسابية	الخطوات الجبرية والتعويض	التعليل
1. صياغة الهيكل الأولي	بما أن $\vec{n}(3; -1; 4)$ ناظمي، نعوض المركبات كمعاملات لـ $x, y, z$: $3x - 1y + 4z + d = 0$	مطابقة مركبات الناظم مع المعادلة الديكارتية.
2. حساب الثابت $d$	نعوض إحداثيات النقطة $A(1; 2; -3)$ لأنها تنتمي للمستوي ($A \in (P)$): $3(1) - (2) + 4(-3) + d = 0$ $3 - 2 - 12 + d = 0 \implies -11 + d = 0 \implies d = 11$	التعويض يحقق التوازن الجبري للمستوي.
3. النتيجة النهائية	نكتب المعادلة كاملة بعد دمج الثابت المحسوب.	$$(P): 3x - y + 4z + 11 = 0$$

قاعدة الصيانة المعرفية:

بقراءة مباشرة لأي معادلة ديكارتية لمستوٍ معطى، يمكنك استخراج مركبات شعاعه الناظمي فوراً؛ وهي المعاملات العددية المضروبة في $x$ و $y$ و $z$. تذكر دائماً أن المعادلة الديكارتية ليست وحيدة، فمضاعفة جميع حدود المعادلة يعطي معادلة مكافئة لنفس المستوي الهندسي.

4. تطبيقات وتمارين

السابق: التمثيل الوسيطي لمستقيم في الفضاء

التالي: الأوضاع النسبية التحليلية وتقاطعاتها الجبرية