لتكن لدينا جملة مكونة من التمثيل الوسيطي لمستقيم $(D)$ والمعادلة الديكارتية لمستوٍ $(P)$ في الفضاء المعلمي:
$$(D): \begin{cases} x = x_A + a \cdot t \\ y = y_A + b \cdot t \\ z = z_A + c \cdot t \end{cases} \quad \text{و} \quad (P): Ax + By + Cz + D = 0$$
نعوض عبارات الإحداثيات الوسيطية للمستقيم داخل المعادلة الديكارتية للمستوي لنحصل على المعادلة الخطية ذات المجهول الواحد $t$:
$$A(x_A + at) + B(y_A + bt) + C(z_A + ct) + D = 0$$
| طبيعة حلول المعادلة الناتجة | الوضعية الهندسة الناتجة قطعيّاً | آلية التعيين التحليلي |
|---|---|---|
| تقبل حلاً وحيداً $t = t_0$ | المستقيم يقطع المستوي في نقطة وحيدة $M_0$. | نعوض قيمة $t_0$ في التمثيل الوسيطي لـ $(D)$ لإيجاد إحداثيات النقطة. |
| معادلة مستحيلة الحل ($0 \cdot t = K$ حيث $K \neq 0$) | المستقيم يوازي المستوي تماماً. | مجموعة النقط المشتركة هي المجموعة الخالية $\emptyset$. |
| معادلة مطابقة ($0 \cdot t = 0$) | المستقيم محتوى كلياً داخل المستوي. | جميع نقاط المستقيم تنتمي للمستوي حتماً. |
لدراسة الوضعية التحليلية لمستويين $(P_1)$ و $(P_2)$ معرفين بمعادلتيهما الديكارتيتين، نختبر الارتباط الخطي لشعاعيهما الناظميين $\vec{n_1}(A_1; B_1; C_1)$ و $\vec{n_2}(A_2; B_2; C_2)$:
| الفحص التحليلي للناظمين | الوضعية الهندسية والربط الجبري | التقاطع الناتج |
|---|---|---|
| $\vec{n_1}$ و $\vec{n_2}$ مرتبطين خطياً | المستويان متوازيان. إذا تساوت المعادلات بالضرب في ثابت فالانطباق تام، وإلا فالتوازي تام. | الاشتراك كلي أو منعدم. |
| $\vec{n_1}$ و $\vec{n_2}$ غير مرتبطين خطياً | المستويان متقاطعان وفق مستقيم مشترك $(D)$ يسمى الفصل المشترك للمستويين. | حل جملة المعادلتين بفرض أحد الإحداثيات كوسيط $t$. |
أوجد التمثيل الوسيطي للمستقيم $(D)$ الناتج عن تقاطع المستويين التاليين تحليلياً:
$(P_1): x - y + 2z - 1 = 0$
$(P_2): 2x + y - z + 3 = 0$
| المرحلة الجبرية | الخطوات الحسابية والتعويض | التعليل والنتيجة |
|---|---|---|
| 1. فحص الارتباط الخطي | $\vec{n_1}(1; -1; 2)$ و $\vec{n_2}(2; 1; -1)$ غير مرتبطين خطياً نظراً لعدم تناسب المركبات. | المستويان متقاطعان في مستقيم فصل مشترك $(D)$. |
| 2. فرض المتغير الوسيط | نضع الإحداثي $z = t$ حيث $t \in \mathbb{R}$. تصبح الجملة الثنائية: $\begin{cases} x - y = 1 - 2t \quad (1) \\ 2x + y = -3 + t \quad (2) \end{cases}$ |
تحويل الجملة إلى مجهولين بدلالة وسيط حقيقي. |
| 3. حل الجملة بالجمع | بجمع المعادلتين (1) و (2) طرفاً لطرف نجد: $3x = -2 - t \implies x = -\frac{2}{3} - \frac{1}{3}t$ بالتعويض في (2) نجد: $y = -3 + t - 2(-\frac{2}{3} - \frac{1}{3}t) = -\frac{5}{3} + \frac{5}{3}t$. |
استخراج قيم $x$ و $y$ بدلالة الوسيط الموحد $t$. |
| 4. صياغة الجملة الوسيطية | نجمع العبارات المحسوبة داخل الحاضنة البرمجية للمستقيم. | $$(D): \begin{cases} x = -\frac{2}{3} - \frac{1}{3}t \\ y = -\frac{5}{3} + \frac{5}{3}t \\ z = t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$ |
عند البحث عن الفصل المشترك لمستويين، يمكنك اختيار فرض أي متغير كوسيط ($x=t$ أو $y=t$ أو $z=t$). تغيير المتغير المفروض يغير شكل التمثيل الوسيطي ظاهرياً فقط، لكنه يبقى هندسياً معبراً بدقة عن نفس المستقيم المتقاطع.