حساب المسافة بين نقطة ومستوٍ في الفضاء

لا محاولة بعد...

1. المفهوم الهندسي لمسافة نقطة عن مستوٍ

المسافة بين نقطة $A$ ومستوٍ $(P)$ في الفضاء هي أقصر مسافة ممكنة بين النقطة وأي نقطة تنتمي إلى هذا المستوي.

مبرهنة الإسقاط: لتكن $H$ هي النقطة الناتجة عن الإسقاط العمودي للنقطة $A$ على المستوي $(P)$. المسافة $AH$ هي البُعد الأدنى القطعي، ونرمز لها بالرمز $d(A, (P))$.

2. الدستور التحليلي لحساب المسافة

نص المبرهنة: في فضاء مزود بمعلم متعامد ومتجانس، لتكن النقطة المعلومة $A(x_A; y_A; z_A)$، والمستوي $(P)$ ذو المعادلة الديكارتية $ax + by + cz + d = 0$. تُعطى المسافة $d(A, (P))$ بالدستور التحليلي التالي:

$$d(A, (P)) = \frac{|ax_A + by_A + cz_A + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$

المكون التحليلي في الدستور الآلية الجبرية المحققة العلة الرياضية
البسط: $|ax_A + by_A + cz_A + d|$ تعويض إحداثيات النقطة $A$ في الطرف الأيسر لمعادلة المستوي، وحساب القيمة المطلقة للناتج. ضمان خروج النتيجة كمقدار عددي موجب تماماً (لأن المسافة لا يمكن أن تكون سالبة).
المقام: $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ حساب طويلة الشعاع الناظمي $\vec{n}(a; b; c)$ للمستوي $(P)$. معايرة البعد بالنسبة لشدة متجهة التوجيه العمودية.

3. مثال تطبيقي (حساب المسافة المباشرة)

احسب مسافة النقطة $A(2; 1; -1)$ عن المستوي $(P)$ الذي معادلته الديكارتية: $2x - 2y + z - 5 = 0$.

المرحلة الحسابية الخطوات الجبرية والتعويض عدلياً النتيجة العددية المحسوبة
1. حساب قيمة البسط نعوض الإحداثيات داخل القيمة المطلقة:
$|2(2) - 2(1) + (1)(-1) - 5| = |4 - 2 - 1 - 5|$		 $|-4| = 4$
2. حساب قيمة المقام نحسب طويلة الناظم $\vec{n}(2; -2; 1)$:
$\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9}$		 $3$
3. الحاصل النهائي للمسافة نقسم ناتج البسط على ناتج المقام مباشرة:
$d(A, (P)) = \frac{4}{3}$		 $d(A, (P)) = \frac{4}{3}$ وحدة طول.

4. تطبيقات وتمارين

السابق: الأوضاع النسبية التحليلية وتقاطعاتها الجبرية
التالي: معادلة سطح الكرة والأوضاع النسبية للمقاطع
الفهرس