حساب المسافة بين نقطة ومستوٍ في الفضاء
1. المفهوم الهندسي لمسافة نقطة عن مستوٍ
المسافة بين نقطة $A$ ومستوٍ $(P)$ في الفضاء هي أقصر مسافة ممكنة بين النقطة وأي نقطة تنتمي إلى هذا المستوي.
مبرهنة الإسقاط: لتكن $H$ هي النقطة الناتجة عن الإسقاط العمودي للنقطة $A$ على المستوي $(P)$. المسافة $AH$ هي البُعد الأدنى القطعي، ونرمز لها بالرمز $d(A, (P))$.
2. الدستور التحليلي لحساب المسافة
نص المبرهنة: في فضاء مزود بمعلم متعامد ومتجانس، لتكن النقطة المعلومة $A(x_A; y_A; z_A)$، والمستوي $(P)$ ذو المعادلة الديكارتية $ax + by + cz + d = 0$. تُعطى المسافة $d(A, (P))$ بالدستور التحليلي التالي:
$$d(A, (P)) = \frac{|ax_A + by_A + cz_A + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$
| المكون التحليلي في الدستور | الآلية الجبرية المحققة | العلة الرياضية |
|---|---|---|
| البسط: $|ax_A + by_A + cz_A + d|$ | تعويض إحداثيات النقطة $A$ في الطرف الأيسر لمعادلة المستوي، وحساب القيمة المطلقة للناتج. | ضمان خروج النتيجة كمقدار عددي موجب تماماً (لأن المسافة لا يمكن أن تكون سالبة). |
| المقام: $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ | حساب طويلة الشعاع الناظمي $\vec{n}(a; b; c)$ للمستوي $(P)$. | معايرة البعد بالنسبة لشدة متجهة التوجيه العمودية. |
3. مثال تطبيقي (حساب المسافة المباشرة)
احسب مسافة النقطة $A(2; 1; -1)$ عن المستوي $(P)$ الذي معادلته الديكارتية: $2x - 2y + z - 5 = 0$.
| المرحلة الحسابية | الخطوات الجبرية والتعويض عدلياً | النتيجة العددية المحسوبة |
|---|---|---|
| 1. حساب قيمة البسط | نعوض الإحداثيات داخل القيمة المطلقة: $|2(2) - 2(1) + (1)(-1) - 5| = |4 - 2 - 1 - 5|$ | $|-4| = 4$ |
| 2. حساب قيمة المقام | نحسب طويلة الناظم $\vec{n}(2; -2; 1)$: $\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9}$ | $3$ |
| 3. الحاصل النهائي للمسافة | نقسم ناتج البسط على ناتج المقام مباشرة: $d(A, (P)) = \frac{4}{3}$ | $d(A, (P)) = \frac{4}{3}$ وحدة طول. |
إذا كانت مسافة النقطة عن المستوي تساوي الصفر ($d(A, (P)) = 0$)، فإن هذا يعني هندسياً وتحليلياً أن النقطة $A$ تنتمي كلياً إلى المستوي $(P)$؛ وتكون المعادلة الديكارتية محققة بالتعويض المباشر دون الحاجة للمقام.