سطح الكرة $(S)$ في الفضاء الإقليدي هو مجموعة النقط $M(x; y; z)$ التي تبعد مسافة ثابتة تُسمى نصف القطر $R$ عن نقطة ثابتة تُسمى المركز $\Omega(x_\Omega; y_\Omega; z_\Omega)$.
المعادلة الديكارتية النموذجية: تُعطى بالدستور الجبري المباشر التالي:
$$(x - x_\Omega)^2 + (y - y_\Omega)^2 + (z - z_\Omega)^2 = R^2 \quad (R > 0)$$
الشكل العام المنشور: بفك الأقواس والمطابقة، نصل إلى الصياغة التالية:
$$x^2 + y^2 + z^2 - 2x_\Omega x - 2y_\Omega y - 2z_\Omega z + d = 0$$
حيث الثابت الحقيقي $d = x_\Omega^2 + y_\Omega^2 + z_\Omega^2 - R^2$.
تتحدد الوضعية النسبية للمستوي $(P)$ مع سطح الكرة $(S)$ المتميزة بالمركز $\Omega$ ونصف القطر $R$، بحساب المسافة $d = d(\Omega, (P))$ ومقارنتها مع $R$:
| الشرط التحليلي | الوضعية الهندسية المكونة | طبيعة المجموعة الناتجة |
|---|---|---|
| $d > R$ | المستوي يقع تماماً خارج سطح الكرة. | التقاطع هو المجموعة الخالية $\emptyset$. |
| $d = R$ | المستوي مماسي لسطح الكرة في نقطة وحيدة $H$. | نقطة التماس $H$ هي المسقط العمودي للمركز $\Omega$ على المستوي. |
| $d < R$ | المستوي يقطع سطح الكرة وفق مقطع دائري. | التقاطع هو دائرة $(C)$ مركزها $H$ ونصف قطرها $r = \sqrt{R^2 - d^2}$. |
لتكن لدينا سطح الكرة $(S)$ ذات المعادلة: $(x-1)^2 + y^2 + (z+2)^2 = 9$، والمستوي $(P)$ ذو المعادلة: $z = 0$.
ادرس وضعية التقاطع، وعيّن عناصر المقطع الناتجة إن وُجدت.
| المرحلة الحسابية | الخطوات الجبرية والتعويض | التعليل والنتيجة |
|---|---|---|
| 1. استخراج عناصر الكرة | بالمطابقة مع المعادلة النموذجية: المركز هو $\Omega(1; 0; -2)$ ونصف القطر هو $R = \sqrt{9} = 3$. |
قراءة المعطيات البنيوية. |
| 2. حساب مسافة المركز عن المستوي | نطبق دستور المسافة على المستوي $0x + 0y + 1z + 0 = 0$: $d = \frac{|-2|}{\sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{2}{1} = 2$ |
المسافة المحسوبة هي $d = 2$. |
| 3. المقارنة والقرار الهندسي | نقارن $d$ مع نصف القطر $R$: بما أن $2 < 3$ (أي $d < R$)، فإن المستوي يقطع سطح الكرة. |
التقاطع هو دائرة $(C)$. |
| 4. حساب عناصر الدائرة | نصف قطر الدائرة: $r = \sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}$ مركز الدائرة $H$ هو المسقط العمودي لـ $\Omega$ على المستوي $z=0$؛ إذن $H(1; 0; 0)$. |
المقطع هو دائرة مركزها $H(1;0;0)$ ونصف قطرها $r = \sqrt{5}$. |
في حالة خاصة عندما يمر المستوي بمركز سطح الكرة تماماً (أي $d=0$)، فإن التقاطع يُمثل دائرة كبرى لسطح الكرة، ويكون نصف قطر الدائرة مساوياً تماماً لنصف قطر سطح الكرة ($r = R$).