الجداء السلمي في الفضاء وعبارته التحليلية
1. التعريف الهندسي للجداء السلمي في الفضاء
تمديد الجداء السلمي من الهندسة المستوية إلى الفضاء يتم دون تغيير في التعريف الهندي المرجعي. من أجل شعاعين غير معدومين $\vec{u}$ و $\vec{v}$ في الفضاء، يُعطى الجداء السلمي بالعبارة:
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\theta)$$
حيث $\theta$ هي الزاوية المحصورة بين الشعاعين $(\vec{u}, \vec{v})$، و $\|\vec{u}\|$ هي طويلة الشعاع. إذا كان أحد الشعاعين معدوماً، فإن الجداء السلمي يساوي الصفر حتماً.
2. العبارة التحليلية للجداء السلمي والطويلة
في فضاء مزود بمعلم متعامد ومتجانس $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$، لتكن مركبات الشعاعين هي: $\vec{u}(x; y; z)$ و $\vec{v}(x'; y'; z')$.
| المقدار التحليلي | الدستور الجبري المعتمد | الأثر التحليلي |
|---|---|---|
| الجداء السلمي تحليلياً | $$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$$ | حاصل جمع جداءات المركبات المتجانسة وهو عدد حقيقي. |
| طويلة شعاع في الفضاء | $$\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$ | جذر مجموع مربعات المركبات الثلاث. |
| المسافة بين نقطتين | $$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$$ | تطبيق مباشر لطويلة الشعاع $\vec{AB}$. |
3. شرط التعامد الشعاعي وحساب الزوايا
شرط التعامد: يكون الشعاعان غير المعدومين $\vec{u}$ و $\vec{v}$ متعامدين ($\vec{u} \perp \vec{v}$) إذا وفقط إذا كان جداؤهما السلمي معدوماً:
$$xx' + yy' + zz' = 0$$
حساب تجيب الزاوية (Cosine): يمكن استخراج قيمة $\cos(\theta)$ بدقة تحليلياً عبر دمج العبارتين الهندسية والتحليلية وفق القانون التالي:
$$\cos(\theta) = \frac{xx' + yy' + zz'}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \times \sqrt{x'^2 + y'^2 + z'^2}}$$
4. مثال تطبيقي (حساب الجداء السلمي والتحقق من التعامد)
في فضاء مزود بمعلم متعامد ومتجانس، نعتبر الشعاعين $\vec{u}(2; -1; 3)$ و $\vec{v}(1; 5; 1)$. احسب الجداء السلمي $\vec{u} \cdot \vec{v}$ ثم تحقق هل الشعاعان متعامدان.
| المرحلة الحسابية | الخطوات الجبرية والتعويض | النتيجة العددية |
|---|---|---|
| 1. تطبيق الدستور التحليلي | $\vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(1) + (-1)(5) + (3)(1)$ | التعويض المباشر للمركبات المتناظرة. |
| 2. حساب الحاصل الجبري | $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 - 5 + 3$ | $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ |
| 3. القرار الهندسي | بما أن الجداء السلمي للشعاعين يساوي الصفر تماماً. | الشعاعان $\vec{u}$ و $\vec{v}$ متعامدان حتماً ($\vec{u} \perp \vec{v}$). |
الجداء السلمي مقدار عددي (حقيقي) وليس شعاعاً. تُستغل النتيجة المعدومة للجداء السلمي كأداة برهانية أولية لإثبات تعامد المستقيمات، الحواف، أو الأشعة الناظمية للمستويات في كافة تمارين الهندسة التحليلية.