تمديد الجداء السلمي من الهندسة المستوية إلى الفضاء يتم دون تغيير في التعريف الهندي المرجعي. من أجل شعاعين غير معدومين $\vec{u}$ و $\vec{v}$ في الفضاء، يُعطى الجداء السلمي بالعبارة:
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\theta)$$
حيث $\theta$ هي الزاوية المحصورة بين الشعاعين $(\vec{u}, \vec{v})$، و $\|\vec{u}\|$ هي طويلة الشعاع. إذا كان أحد الشعاعين معدوماً، فإن الجداء السلمي يساوي الصفر حتماً.
في فضاء مزود بمعلم متعامد ومتجانس $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$، لتكن مركبات الشعاعين هي: $\vec{u}(x; y; z)$ و $\vec{v}(x'; y'; z')$.
| المقدار التحليلي | الدستور الجبري المعتمد | الأثر التحليلي |
|---|---|---|
| الجداء السلمي تحليلياً | $$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$$ | حاصل جمع جداءات المركبات المتجانسة وهو عدد حقيقي. |
| طويلة شعاع في الفضاء | $$\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$ | جذر مجموع مربعات المركبات الثلاث. |
| المسافة بين نقطتين | $$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$$ | تطبيق مباشر لطويلة الشعاع $\vec{AB}$. |
شرط التعامد: يكون الشعاعان غير المعدومين $\vec{u}$ و $\vec{v}$ متعامدين ($\vec{u} \perp \vec{v}$) إذا وفقط إذا كان جداؤهما السلمي معدوماً:
$$xx' + yy' + zz' = 0$$
حساب تجيب الزاوية (Cosine): يمكن استخراج قيمة $\cos(\theta)$ بدقة تحليلياً عبر دمج العبارتين الهندسية والتحليلية وفق القانون التالي:
$$\cos(\theta) = \frac{xx' + yy' + zz'}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \times \sqrt{x'^2 + y'^2 + z'^2}}$$
في فضاء مزود بمعلم متعامد ومتجانس، نعتبر الشعاعين $\vec{u}(2; -1; 3)$ و $\vec{v}(1; 5; 1)$. احسب الجداء السلمي $\vec{u} \cdot \vec{v}$ ثم تحقق هل الشعاعان متعامدان.
| المرحلة الحسابية | الخطوات الجبرية والتعويض | النتيجة العددية |
|---|---|---|
| 1. تطبيق الدستور التحليلي | $\vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(1) + (-1)(5) + (3)(1)$ | التعويض المباشر للمركبات المتناظرة. |
| 2. حساب الحاصل الجبري | $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 - 5 + 3$ | $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ |
| 3. القرار الهندسي | بما أن الجداء السلمي للشعاعين يساوي الصفر تماماً. | الشعاعان $\vec{u}$ و $\vec{v}$ متعامدان حتماً ($\vec{u} \perp \vec{v}$). |
الجداء السلمي مقدار عددي (حقيقي) وليس شعاعاً. تُستغل النتيجة المعدومة للجداء السلمي كأداة برهانية أولية لإثبات تعامد المستقيمات، الحواف، أو الأشعة الناظمية للمستويات في كافة تمارين الهندسة التحليلية.