التشابه المباشر: التعريف الهندسي والعناصر المميزة
1. التعريف الهندسي للتشابه المباشر
التشابه المباشر $S$ في المستوي هو تحويل نقطي ينتج عن تركيب دوران $r$ وتحاكٍ $h$ لهما نفس المركز $\Omega$. يرفق هذا التحويل بكل نقطة $M$ نقطة $M'$ بحيث:
$$S = r \circ h = h \circ r$$
يتحدد التشابه المباشر بشكل فريد بثلاثة عناصر مميزة: المركز $\Omega$ (النقطة الصامدة الوحيدة)، النسبة $k$ (عدد حقيقي موجب تماماً)، والزاوية الموجهة $\theta$.
2. الخواص الهندسية للتشابه المباشر
إذا كانت $A'$ و $B'$ هما الصورتان النقطيتان للنقطتين $A$ و $B$ على الترتيب بواسطة التشابه المباشر $S(\Omega, k, \theta)$، فإن الخواص الحاكمة للمسافات والأشعة هي:
| المقدار الهندسي | العلاقة التحليلية الناتجة | التفسير الرياضي |
|---|---|---|
| تحويل الأطوال | $A'B' = k \cdot AB$ | تُضرب جميع المسافات في نسبة التشابه $k$. |
| تحويل الأشعة | $(\vec{AB}, \vec{A'B'}) = \theta + 2k\pi$ | زاوية المستقيم الصورة يصنع زاوية $\theta$ مع المستقيم الأصلي. |
| تحويل المساحات | $\text{Area}' = k^2 \cdot \text{Area}$ | تُضرب مساحات الأشكال المستوية في مربع النسبة $k^2$. |
3. المقادير المحفوظة في التشابه المباشر
بما أن التشابه المباشر يحافظ على التوجيه المستوي (لأن الدوران والتحاكي يحافظان عليه)، فإنه يحافظ حتماً على العبارات الهندسية التالية:
* استقامية النقط وترتيبها المستوي.
* أقيايس الزوايا الهندسية والموجهة لشعاعين.
* التوازي والتعامد بين المستقيمات.
* أشكال المضلعات (يحول المثلث إلى مثلث شبيه له).
4. مثال تطبيقي (تحديد عناصر تشابه مباشر من معطيات هندسية)
ليكن $ABC$ مثلثاً قائماً ومتساوي الساقين في $A$ في الاتجاه المباشر. نعتبر $S$ التشابه المباشر الذي مركزه $B$ ويحول النقطة $A$ إلى $C$. حدد نسبة وزاوية هذا التشابه.
| المرحلة الحسابية | خطوات الاستنتاج الرياضي | النتيجة القطعية |
|---|---|---|
| 1. تعيين النسبة $k$ | المركز هو $B$ والصورة هي $S(A)=C$. النسبة تحسب بالعبارة: $k = \frac{BC}{BA}$. بما أن المثلث قائم ومتساوي الساقين، حسب مبرهنة فيثاغورس: $BC = \sqrt{BA^2 + AC^2} = \sqrt{2} BA$. | $k = \sqrt{2}$ |
| 2. تعيين الزاوية $\theta$ | الزاوية الموجهة للتشابه هي الزاوية المحصورة بين شعاع البداية وشعاع الصورة انطلاقاً من المركز الصامد: $\theta = (\vec{BA}, \vec{BC})$. | $\theta = \frac{\pi}{4}$ ($45^\circ$) |
| 3. صياغة التوصيف الكامل | تجميع العناصر المميزة الثلاثة المستخرجة هندسياً لتعريف التحويل. | $S$ هو تشابه مباشر مركزه $B$، نسبته $\sqrt{2}$ وزاويته $\frac{\pi}{4}$. |
كل دوران هو تشابه مباشر نسبته $k=1$، وكل تحاكٍ نسبته موجبة هو تشابه مباشر زاويته $\theta=0$ (أو $\theta=\pi$ إذا كانت النسبة سالبة)؛ التشابه المباشر العام يدمج التدوير وتغيير الأبعاد معاً دون قلب توجيه الشكل.