الدوران $r$ هو تحويل نقطي يحافظ على المسافات والأبعاد (تحويل تقايسي). إذا كانت $A'$ و $B'$ هما الصورتان النقطيتان للنقطتين $A$ و $B$ على الترتيب بواسطة الدوران $r$، فإن:
$A'B' = AB$
النتيجة الهندسية: يحافظ الدوران على استقامية النقط؛ فإذا كانت $A$، $B$ و $C$ في استقامية، فإن صورها $A'$، $B'$ و $C'$ تكون في استقامية أيضاً وتحافظ على ترتيبها.
2. أثر الدوران على المستقيمات والزوايا الموجهة
إذا كانت $A'$ و $B'$ هما صورتا النقطتين $A$ و $B$ بالدوران $r$ الذي زاويته $\theta$، فإن قيس الزاوية الموجهة بين المستقيم الأصلي والمستقيم الصورة يساوي زاوية الدوران نفسه:
النتيجة: إذا كانت زاوية الدوران $\theta = \frac{\pi}{2}$ أو $-\frac{\pi}{2}$، فإن المستقيم الصورة $(A'B')$ يكون عمودياً على المستقيم الأصلي $(AB)$.
3. خواص حفظ الأشكال والمقادير الهندسة
المقادير الهندسية
أثر الدوران عليها
التبرير الرياضي
الأطوال والمسافات
محفوظة تماماً ($A'B' = AB$).
الدوران تحويل تقايسي.
أقيايس الزوايا
محفوظة (سواء الزوايا الهندسية أو الموجهة).
يحافظ على التوجيه المستوي والتعامد.
المساحات والحجوم
محفوظة دون أي تغيير ($\text{Area}' = \text{Area}$).
معامل تغير الأبعاد يساوي $1$.
الأشكال الهندسية
تحول المستقيم إلى مستقيم، والدائرة إلى دائرة لها نفس نصف القطر.
الحفاظ الكامل على البنية والأبعاد.
4. مثال تطبيقي (حساب زاوية بين مستقيم وصورته بدوران)
ليكن $ABC$ مثلثاً، و $r$ دوران مركزه $A$ وزاويته $\theta = \frac{\pi}{3}$. نعتبر $B'$ و $C'$ صورتي $B$ و $C$ بالدوران $r$ على الترتيب. بين أن الطول $B'C' = BC$، ثم عين قيس الزاوية الموجهة $(\vec{BC}, \vec{B'C'})$.
المرحلة الحسابية
خطوات التبيين وتطبيق الخاصية
النتيجة الرياضية
1. إثبات حفظ المسافة
بما أن $h(B)=B'$ و $h(C)=C'$ وبما أن الدوران تحويل تقايسي يحافظ على المسافات.
$B'C' = BC$
2. تعيين زاوية المستقيمين
حسب خاصية تحويل الأشعة، فإن الزاوية الموجهة بين الشعاع الأصلي وصورته تساوي زاوية الدوران.
$(\vec{BC}, \vec{B'C'}) = \frac{\pi}{3}$
قاعدة:
الدوران هو تحويل هندسي جامد؛ ينقل الأشكال والمستقيمات والدوائر من مكانها مع تدويرها بزاوية $\theta$، لكنه يحافظ تحليلياً على الأطوال والمساحات والتوازي والتعامد.