1. حفظ المسافات والاستقامية (خاصية التقايس)

الدوران $r$ هو تحويل نقطي يحافظ على المسافات والأبعاد (تحويل تقايسي). إذا كانت $A'$ و $B'$ هما الصورتان النقطيتان للنقطتين $A$ و $B$ على الترتيب بواسطة الدوران $r$، فإن:

$A'B' = AB$

النتيجة الهندسية: يحافظ الدوران على استقامية النقط؛ فإذا كانت $A$، $B$ و $C$ في استقامية، فإن صورها $A'$، $B'$ و $C'$ تكون في استقامية أيضاً وتحافظ على ترتيبها.

2. أثر الدوران على المستقيمات والزوايا الموجهة

إذا كانت $A'$ و $B'$ هما صورتا النقطتين $A$ و $B$ بالدوران $r$ الذي زاويته $\theta$، فإن قيس الزاوية الموجهة بين المستقيم الأصلي والمستقيم الصورة يساوي زاوية الدوران نفسه:

$$(\vec{AB}, \vec{A'B'}) = \theta + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

النتيجة: إذا كانت زاوية الدوران $\theta = \frac{\pi}{2}$ أو $-\frac{\pi}{2}$، فإن المستقيم الصورة $(A'B')$ يكون عمودياً على المستقيم الأصلي $(AB)$.

3. خواص حفظ الأشكال والمقادير الهندسة

4. مثال تطبيقي (حساب زاوية بين مستقيم وصورته بدوران)

ليكن $ABC$ مثلثاً، و $r$ دوران مركزه $A$ وزاويته $\theta = \frac{\pi}{3}$. نعتبر $B'$ و $C'$ صورتي $B$ و $C$ بالدوران $r$ على الترتيب. بين أن الطول $B'C' = BC$، ثم عين قيس الزاوية الموجهة $(\vec{BC}, \vec{B'C'})$.

5. تطبيقات وتمارين