الدوران $r$ الذي مركزه النقطة المعلومة $\Omega$ وزاويته الموجهة $\theta$، هو تحويل نقطي يحول النقطة $\Omega$ إلى نفسها، ويرفق بكل نقطة $M$ تختلف عن $\Omega$ نقطة $M'$ حيث تحققان الشرطين التاليين معاً:
$\Omega M' = \Omega M \quad \text{و} \quad (\vec{\Omega M}, \vec{\Omega M'}) = \theta + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$
ونرمز له بالرمز $r(\Omega, \theta)$، ونكتب: $r(M) = M'$.
تؤول طبيعة الدوران إلى تحويلات نقطية مألوفة بناءً على قيم الزاوية $\theta$ كالتالي:
| قيمة الزاوية $\theta$ | الشرط الشعاعي والهندسي | طبيعة التحويل الناتجة |
|---|---|---|
| $\theta = 0$ | $\Omega M' = \Omega M$ و $(\vec{\Omega M}, \vec{\Omega M'}) = 0 \implies M' = M$ | تحويل متطابق (كل نقطة هي صورة نفسها). |
| $\theta = \pi$ | $\Omega M' = \Omega M$ و $(\vec{\Omega M}, \vec{\Omega M'}) = \pi \implies \vec{\Omega M'} = -\vec{\Omega M}$ | تناظر مركزي مركزه النقطة $\Omega$. |
| $\theta = \frac{\pi}{2}$ | المثلث $\Omega MM'$ قائم في $\Omega$ ومتساوي الساقين في الاتجاه المباشر. | دوران ربع دورة في الاتجاه الموجب. |
| $\theta = -\frac{\pi}{2}$ | المثلث $\Omega MM'$ قائم في $\Omega$ ومتساوي الساقين في الاتجاه غير المباشر. | دوران ربع دورة في الاتجاه السالب. |
لإنشاء صورة النقطة $M$ بالدوران $r(\Omega, \theta)$، نتبع الخطوات التالية:
| الخطوة | طريقة العمل والإنشاء | التعليل الرياضي |
|---|---|---|
| 1. رسم قوس الدوران | نضع شوكة الفرجار في المركز $\Omega$ وقلم الرسم في النقطة $M$ ونرسم قوساً من دائرة. | الشرط $\Omega M' = \Omega M$ يفرض وقوع النقطة الصورة على الدائرة التي مركزها $\Omega$ ونصف قطرها $\Omega M$. |
| 2. تعيين اتجاه وقيس الزاوية | باستعمال المنقلة، نقيس الزاوية $\theta$ انطلاقاً من نصف المستقيم $[\Omega M)$ في الاتجاه المباشر (إذا كانت $\theta > 0$) أو غير المباشر (إذا كانت $\theta < 0$). | إشارة وقيمة الزاوية تحددان الموضع الدقيق لنصف المستقيم $[\Omega M')$. |
| 3. تحديد النقطة الصورة | نقطة تقاطع ضلع الزاوية الجديد مع القوس المرسوم هي النقطة $M'$. | تقاطع الدائرة مع نصف المستقيم يحدد نقطة وحيدة تحقق شرطي المسافة والزاوية. |
لتكن $\Omega$ و $A$ نقطتين من المستوي حيث $\Omega A = 3\text{ cm}$. أنشئ النقطة $A'$ صورة $A$ بالدوران $r$ الذي مركزه $\Omega$ وزاويته $\theta = \frac{\pi}{3}$ ($60^\circ$).
| المرحلة | خطوات الإنشاء والحساب | النتيجة الهندسية |
|---|---|---|
| 1. إنشاء المسار الدائري | نرسم قوساً دائرياً مركزه $\Omega$ ويمر بالنقطة $A$ في الاتجاه المباشر. | تحقيق شرط ثبات المسافة $\Omega A' = \Omega A = 3\text{ cm}$. |
| 2. تعيين الزاوية | نضع مركز المنقلة على $\Omega$ وخط الصفر على $[\Omega A)$ ونعلم زاوية قيسها $60^\circ$ في عكس اتجاه عقارب الساعة. | تحقيق شرط الزاوية الموجهة $(\vec{\Omega A}, \vec{\Omega A'}) = \frac{\pi}{3}$. |
| 3. تحديد طبيعة المثلث الناتجة | نصل بين $\Omega$ و $A$ و $A'$. بما أن $\Omega A = \Omega A'$ والزاوية بينهما $60^\circ$، فإن المثلث $\Omega AA'$ متساوي الأضلاع. | $A'$ هي الصورة، والمثلث $\Omega AA'$ متساوي الأضلاع طول ضلعه $3\text{ cm}$. |
الدوران يحافظ على البُعد عن المركز؛ وتتحدد الصورة دائماً بتقاطع الدائرة المحورية للمركز مع نصف المستقيم الذي يصنع الزاوية الموجهة المعلومة $\theta$.