خواص التحاكي
1. الأثر الشعاعي للتحاكي (حفظ الاستقامية والخطية)
التحاكي $h$ الذي مركزه $\Omega$ ونسبته $k$ هو تحويل نقطي يحافظ على العلاقات الشعاعية والاستقامية. إذا كانت $A'$ و $B'$ هما الصورتان النقطيتان للنقطتين $A$ و $B$ على الترتيب بواسطة التحاكي $h$، فإن:
$$\vec{A'B'} = k \cdot \vec{AB}$$
النتيجة الهندسية: ينتج عن هذه العلاقة أن المستقيم $(A'B')$ يوازي دائماً المستقيم $(AB)$.
2. أثر نسبة التحاكي على الأطوال، المساحات، والحجوم
يؤدي التحاكي $h(\Omega, k)$ إلى تعديل مقاييس الأشكال الهندسية تبعاً للقيمة المطلقة لنسبته $|k|$ وفق القواعد الرياضية التالية:
| المقدار الهندسي | علاقة التحويل بالتحاكي | معامل التغير |
|---|---|---|
| الأطوال والمسافات | $A'B' = |k| \times AB$ | تُضرب الأطوال في $|k|$ |
| المساحات | $\text{Area}' = k^2 \times \text{Area}$ | تُضرب المساحات في $k^2$ |
| الحجوم | $\text{Volume}' = |k|^3 \times \text{Volume}$ | تُضرب الحجوم في $|k|^3$ |
3. الخواص الإيجابية والسلبية لحفظ الأشكال
| المقادير المحفوظة (لا تتغير) | المقادير غير المحفوظة (تتغير) |
|---|---|
| * استقامية النقط. * معامل الارتباط الخطي للأشعة. * أقيايس الزوايا الهندسية والموجهة. * التوازي والتعامد. | * الأطوال والمسافات بين النقط (إلا إذا كان $|k|=1$). * مساحات الأشكال المستوية. * حجوم المجسمات الهندسة. |
4. مثال تطبيقي (حساب مساحة مثلث ناتج عن تحاكٍ)
ليكن $ABC$ مثلثاً قائماً مساحته تساوي $12\text{ cm}^2$. نعتبر $A'$، $B'$ و $C'$ صور الرؤوس $A$، $B$ و $C$ بالتحاكي $h$ الذي نسبته $k = -3$. احسب مساحة المثلث الناتج $A'B'C'$.
| المرحلة الحسابية | خطوات التعويض وتطبيق الخاصية | النتيجة العددية |
|---|---|---|
| 1. استحضار قانون المساحات | مساحة الشكل الصورة تحسب بالعلاقة: $\text{Area}' = k^2 \times \text{Area}$ | تحديد القانون المعتمد |
| 2. التعويض العددي | نعوض قيمة المساحة الأصلية والنسبة: $\text{Area}' = (-3)^2 \times 12 = 9 \times 12$ | تربيع النسبة وحساب الجداء |
| 3. صياغة النتيجة النهائية | حساب الناتج النهائي الإجمالي للمساحة الجديدة بالوحدة المعتمدة. | $\text{Area}' = 108\text{ cm}^2$ |
التحاكي يحافظ على البنية الهندسية للشكل (الزوايا، التوازي، والاستقامية) لكنه يغير الأبعاد؛ بحيث تتناسب الأطوال مع $|k|$ وتتناسب المساحات مع مربع النسبة $k^2$.