التعريف الشعاعي للتحاكي والإنشاء الهندسي
1. التعريف الهندسي للتحاكي
التحاكي الذي مركزه النقطة المعلومة $\Omega$ ونسبته العدد الحقيقي غير المعدوم $k$ (حيث $k \neq 0$)، هو تحويل نقطي يرفق بكل نقطة $M$ من المستوي نقطة $M'$ تحقق العلاقة الشعاعية التالية:
$$\vec{\Omega M'} = k \cdot \vec{\Omega M}$$
ونرمز له بالرمز $h(\Omega, k)$، ونكتب: $h(M) = M'$.
2. المناقشة البيانية لنسبة التحاكي $k$
تتحدد وضعية النقطة الصورة $M'$ بالنسبة إلى النقطة الأصلية $M
ومركزه $\Omega$ تبعاً لقيمة النسبة $k$ وإشارتها كما يلي:
| قيمة النسبة $k$ | الوضعية الشعاعية والهندسية | طبيعة التحويل |
|---|---|---|
| $k > 0$ | الشعاعان $\vec{\Omega M'}$ و $\vec{\Omega M}$ في نفس الاتجاه. النقطة $\Omega$ خارج القطعة $[MM']$. | تمديد (إذا كان $k > 1$) أو تقليص (إذا كان $0 < k < 1$). |
| $k < 0$ | الشعاعان $\vec{\Omega M'}$ و $\vec{\Omega M}$ في اتجاهين متعاكسين. النقطة $\Omega$ تنتمي للقطعة $[MM']$. | تحويل يتضمن تكبيراً أو تصغيراً مع قلب اتجاه الشكل. |
| $k = 1$ | $\vec{\Omega M'} = \vec{\Omega M} \implies M' = M$. | تحويل متطابق (كل نقطة هي صورة نفسها). |
| $k = -1$ | $\vec{\Omega M'} = -\vec{\Omega M}$، وتكون $\Omega$ منتصف القطعة $[MM']$. | تناظر مركزي مركزه النقطة $\Omega$. |
3. خوارزمية الإنشاء الهندسي لصورة نقطة
لإنشاء صورة النقطة $M$ بالتحاكي $h(\Omega, k)$، نتبع الخطوات الهندسة الجبرية التالية:
| الخطوة | طريقة العمل والإنشاء | التعليل الرياضي |
|---|---|---|
| 1. رسم حامل الشعاع | نرسم المستقيم $(\Omega M)$ المار بالمركز والنقطة الأصلية. | النقط $\Omega$، $M$ و $M'$ في استقامية حتماً بناءً على الارتباط الخطي للأشعة. |
| 2. تحديد جهة الحركة | إذا كان $k > 0$ نتحرك من $\Omega$ في جهة $M$. وإذا كان $k < 0$ نتحرك في الجهة المعاكسة. | إشارة العدد $k$ تحدد اتجاه الشعاعين المتناسبين. |
| 3. تعيين المسافة الدقيقة | نحسب الطول $\Omega M' = |k| \times \Omega M$ ونعلم النقطة $M'$ باستخدام الفرجار أو المسطرة المدرجة. | طويلة الشعاع الناتج تساوي القيمة المطلقة للنسبة مضروبة في طويلة الشعاع الأصلي. |
4. مثال تطبيقي (إنشاء صورة قطعة مستقيمة بالتحاكي)
لتكن $[AB]$ قطعة مستقيمة طولها $4\text{ cm}$، و $\Omega$ نقطة خارج المستقيم $(AB)$. أنشئ القطعة $[A'B']$ صورة $[AB]$ بالتحاكي $h$ الذي مركزه $\Omega$ ونسبته $k = -1.5$.
| المرحلة | خطوات الإنشاء والتعويض | النتيجة الهندسية |
|---|---|---|
| 1. إنشاء النقطة $A'$ | نرسم المستقيم $(\Omega A)$، وبما أن $k=-1.5$، نحدد $A'$ في الجهة المعاكسة لـ $A$ بالنسبة إلى $\Omega$ بحيث: $\Omega A' = 1.5 \times \Omega A$. | $h(A) = A'$ |
| 2. إنشاء النقطة $B'$ | نرسم المستقيم $(\Omega B)$، ونحدد $B'$ في الجهة المعاكسة لـ $B$ بالنسبة إلى $\Omega$ بحيث: $\Omega B' = 1.5 \times \Omega B$. | $h(B) = B'$ |
| 3. استنتاج طول الصورة | نصل بين النقطتين $A'$ و $B'$ لتتشكل القطعة $[A'B']$. يحسب طولها بالعلاقة: $A'B' = |-1.5| \times AB = 1.5 \times 4$. | $A'B' = 6\text{ cm}$ والقطعة $[A'B']$ توازي $[AB]$. |
التعريف الشعاعي للتحاكي يفرض أن المركز والنقطة وصورتها على استقامية واحدة دائماً؛ والنسبة $k$ تتحكم في المسافة والاتجاه معاً.