كل تشابه مباشر $S$ في المستوي المركب يرفق بالكل نقطة $M$ ذات اللاحقة $z$ نقطة $M'$ ذات اللاحقة $z'$، تُكتب عبارته المركبة حتماً على الشكل النموذجي التالي:
$$z' = a \cdot z + b$$
حيث $a$ و $b$ عددان مركبان معلومان مع شرط أن $a \neq 0$.
تتحدد طبيعة التحويل النقطي وعناصره الهندسة بدقة انطلاقاً من قيم الثوابت المركبة $a$ و $b$ وفق الجدول التصنيفي التالي:
| قيمة الثابت $a$ | العناصر المميزة للتحويل | طبيعة التحويل النقطي الناتجة |
|---|---|---|
| $a = 1$ | لا توجد نقطة صامدة (إذا كان $b \neq 0$). شعاع الانسحاب لاحقته $b$. | انسحاب توازي شعاعه $\vec{u}(b)$. |
| $a \in \mathbb{R}^* \setminus \{1\}$ | * النسبة: $k = |a| = a$. * الزاوية: $\theta = 0$ (إذا كان $a>0$) أو $\theta = \pi$ (إذا كان $a<0$). * المركز $\Omega$ لاحقته: $z_\Omega = \frac{b}{1 - a}$. |
تحاكٍ $h(\Omega, a)$. |
| $a \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}$ بحيث $|a| = 1$ |
* النسبة: $k = 1$. * الزاوية: $\theta = \arg(a)$. * المركز $\Omega$ لاحقته: $z_\Omega = \frac{b}{1 - a}$. |
دوران $r(\Omega, \theta)$. |
| $a \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}$ بحيث $|a| \neq 1$ |
* النسبة: $k = |a|$. * الزاوية: $\theta = \arg(a)$. * المركز $\Omega$ لاحقته: $z_\Omega = \frac{b}{1 - a}$. |
تشابه مباشر عام $S(\Omega, k, \theta)$. |
نعتبر التحويل النقطي $S$ الذي يرفق بكل نقطة لاحقتها $z$ النقطة $M'$ ذات اللاحقة $z'$ حيث: $z' = (1 + i\sqrt{3})z + 2 - i\sqrt{3}$. عين طبيعة هذا التحويل وعناصره المميزة.
| المرحلة الحسابية | خطوات التطبيق الجبري والتعويض | النتيجة العددية |
|---|---|---|
| 1. حساب نسبة التحويل $k$ | بالمطابقة نجد أن $a = 1 + i\sqrt{3}$. النسبة هي طويلة $a$: $k = |1 + i\sqrt{3}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4}$. |
$k = 2$ |
| 2. حساب زاوية التحويل $\theta$ | الزاوية هي عمدة العدد $a$: $\cos\theta = \frac{1}{2}$ ، $\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$. |
$\theta = \frac{\pi}{3} \quad (+2k\pi)$ |
| 3. حساب لاحقة المركز $z_\Omega$ | نعوض في قانون النقطة الصامدة: $z_\Omega = \frac{b}{1 - a}$ حيث $b = 2 - i\sqrt{3}$: $z_\Omega = \frac{2 - i\sqrt{3}}{1 - (1 + i\sqrt{3})} = \frac{2 - i\sqrt{3}}{-i\sqrt{3}} = \frac{(2 - i\sqrt{3})i\sqrt{3}}{(-i\sqrt{3})i\sqrt{3}} = \frac{2i\sqrt{3} + 3}{3} = 1 + i\frac{2\sqrt{3}}{3}$. |
$z_\Omega = 1 + i\frac{2\sqrt{3}}{3}$ |
| 4. صياغة الاستنتاج | بما أن النسبة $k \neq 1$ والزاوية لا تساوي $0$ أو $\pi$، نلخص طبيعة المنحنى الناتجة. | $S$ هو تشابه مباشر مركزه $\Omega$ ذو اللاحقة $1 + i\frac{2\sqrt{3}}{3}$، نسبته $2$ وزاويته $\frac{\pi}{3}$. |
تُمثل طويلة المعامل $a$ نسبة التشابه المباشر، بينما يُمثل عمدته ($\arg a$) زاوية هذا التشابه؛ النقطة الصامدة الوحيدة التي تحقق $z=az+b$ هي مركز هذا التحويل.