1. التعريف الرياضي

نقول عن عددين طبيعيين $a$ و $b$ أنهما أوليان فيما بينهما (Coprime) إذا كان قاسمهما المشترك الأكبر يساوي $1$:

$PGCD(a, b) = 1$

ملاحظة: لا يشترط في هذه الخاصية أن يكون $a$ أو $b$ عدداً أولياً بذاته؛ فالعددان $8$ و $9$ أوليان فيما بينهما رغم كونهما مركبين.

2. مبرهنة بيزو (Bézout's Identity)

يكون العددان الصحيحان $a$ و $b$ أوليين فيما بينهما إذا وفقط إذا وُجد عددان صحيحان $u$ و $v$ بحيث:

$au + bv = 1$

تعتبر هذه المبرهنة أداة جوهرية في حل المعادلات الديوفانتية وإثبات العلاقات بين الأعداد.

3. نتائج أساسية

• الكسر $\frac{a}{b}$ يكون غير قابل للاختزال إذا وفقط إذا كان $a$ و $b$ أوليين فيما بينهما.

• أي عددين طبيعيين متتاليين $n$ و $n+1$ هما أوليان فيما بينهما دائماً.

• أي عددين أوليين مختلفين هما حتماً أوليان فيما بينهما.

---