إذا كان $a$ يقسم الجداء $bc$ وكان $a$ أولياً مع $b$ (أي $PGCD(a, b) = 1$)، فإن $a$ يقسم $c$.
$\begin{cases} a \mid bc \\ PGCD(a, b) = 1 \end{cases} \implies a \mid c$
2. تطبيقات المبرهنة
تستخدم المبرهنة في حل المعادلات الديوفانتية التي تتخذ الشكل $ax = by$.
مثال: حل المعادلة $5x = 3y$ في $\mathbb{Z}$:
بما أن $5$ يقسم $3y$ و $PGCD(5, 3) = 1$، فإن $5$ يقسم $y$ (حسب غوص).
إذن $y = 5k$ (حيث $k \in \mathbb{Z}$)، وبالتعويض نجد $5x = 3(5k) \implies x = 3k$.
3. نتائج المبرهنة
• إذا كان $a$ و $b$ يقسمان عدداً $n$ و $PGCD(a, b) = 1$، فإن جداءهما $ab$ يقسم $n$.
• إذا كان عدد أولي $p$ يقسم جداء $ab$، فإنه يقسم $a$ أو يقسم $b$.
تنبيه:
لا تطبق المبرهنة إذا لم يكن العددان $a$ و $b$ أوليين فيما بينهما. مثال: $6$ يقسم $4 \times 3$ لكن $6$ لا يقسم $4$ ولا يقسم $3$؛ لأن $PGCD(6, 4) = 2 \neq 1$.