الارتباط الخطي لشعاعين والمحدد
1. مفهوم الارتباط الخطي
نقول عن شعاعين غير معدومين $\vec{u}$ و $\vec{v}$ أنهما مرتبطان خطياً إذا كان لهما نفس المنحى (أي أن حاملاهما متوازيان أو منطبقان). رياضيا: يوجد عدد حقيقي $k$ يحقق العلاقة التالية:
$$\vec{v} = k \cdot \vec{u}$$
2. المحدّد:
لتفادي البحث العشوائي عن العدد $k$، نستخدم أداة 'المحدد' (Determinant) لمركبات الشعاعين $\vec{u}=\binom{X}{Y}$ و $\vec{v}=\binom{X'}{Y'}$. يحسب كالتالي:
$$\det(\vec{u}, \vec{v}) = \begin{vmatrix} X & X' \\ Y & Y' \end{vmatrix} = X \cdot Y' - Y \cdot X'$$
| قيمة المحدد | الوضعية الجبرية | الحكم الهندسي |
|---|---|---|
| $\det(\vec{u}, \vec{v}) = 0$ | الشعاعان مرتبطان خطياً. | الحوامل متوازية تماماً أو منطبقة. |
| $\det(\vec{u}, \vec{v}) \neq 0$ | الشعاعان غير مرتبطين خطياً. | الحوامل متقاطعة في نقطة فريدة حتماً. |
3. تطبيقات الارتباط: التوازي والاستقامية
الارتباط الخطي هو الوسيلة الحسابية الأقوى لإثبات نظريات الوضع النسبي بدون الحاجة لأدوات القياس البصرية:
- إثبات توازي مستقيمين: يكون $(AB) // (CD)$ إذا وفقط إذا كان الشعاعان $\vec{AB}$ و $\vec{CD}$ مرتبطين خطياً ($\det=0$).
- إثبات استقامية نقط ثلاث: تكون النقط $A, B, C$ في استقامية إذا وفقط إذا كان الشعاعان $\vec{AB}$ و $\vec{AC}$ مرتبطين خطياً ($\det=0$)، لوجود الرأس المشترك $A$.
4. مثال تطبيقي (إثبات شرط الاستقامية)
لتكن النقط $A(1, 1)$، $B(3, 5)$، و $C(5, y_C)$. أوجد قيمة الترتيبة $y_C$ لكي تكون النقط $A, B, C$ في استقامية تامة.
| المرحلة | الحساب وتوظيف المحدد | النتيجة |
|---|---|---|
| 1. صياغة الأشعة | $\vec{AB} = \binom{3-1}{5-1} = \binom{2}{4}$ $\vec{AC} = \binom{5-1}{y_C-1} = \binom{4}{y_C-1}$ | تجهيز المركبات |
| 2. تطبيق شرط الارتباط | $\det(\vec{AB}, \vec{AC}) = 0 \implies 2(y_C - 1) - 4(4) = 0$ | معادلة بمجهول واحد |
| 3. عزل المجهول | $2y_C - 2 - 16 = 0 \implies 2y_C = 18 \implies y_C = 9$ | $y_C = 9$ |
الارتباط الخطي هو ترجمة التوازي بلغة المتجهات؛ حساب المحدد يقطع دابر الشك: فإما صفر يعلن التوازي والاستقامية، أو غير ذلك ليعلن التقاطع.