نقول عن شعاعين غير معدومين $\vec{u}$ و $\vec{v}$ أنهما مرتبطان خطياً إذا كان لهما نفس المنحى (أي أن حاملاهما متوازيان أو منطبقان). رياضيا: يوجد عدد حقيقي $k$ يحقق العلاقة التالية:
$$\vec{v} = k \cdot \vec{u}$$
2. المحدّد:
لتفادي البحث العشوائي عن العدد $k$، نستخدم أداة 'المحدد' (Determinant) لمركبات الشعاعين $\vec{u}=\binom{X}{Y}$ و $\vec{v}=\binom{X'}{Y'}$. يحسب كالتالي:
$$\det(\vec{u}, \vec{v}) = \begin{vmatrix} X & X' \\ Y & Y' \end{vmatrix} = X \cdot Y' - Y \cdot X'$$
قيمة المحدد
الوضعية الجبرية
الحكم الهندسي
$\det(\vec{u}, \vec{v}) = 0$
الشعاعان مرتبطان خطياً.
الحوامل متوازية تماماً أو منطبقة.
$\det(\vec{u}, \vec{v}) \neq 0$
الشعاعان غير مرتبطين خطياً.
الحوامل متقاطعة في نقطة فريدة حتماً.
3. تطبيقات الارتباط: التوازي والاستقامية
الارتباط الخطي هو الوسيلة الحسابية الأقوى لإثبات نظريات الوضع النسبي بدون الحاجة لأدوات القياس البصرية:
- إثبات توازي مستقيمين: يكون $(AB) // (CD)$ إذا وفقط إذا كان الشعاعان $\vec{AB}$ و $\vec{CD}$ مرتبطين خطياً ($\det=0$).
- إثبات استقامية نقط ثلاث: تكون النقط $A, B, C$ في استقامية إذا وفقط إذا كان الشعاعان $\vec{AB}$ و $\vec{AC}$ مرتبطين خطياً ($\det=0$)، لوجود الرأس المشترك $A$.
4. مثال تطبيقي (إثبات شرط الاستقامية)
لتكن النقط $A(1, 1)$، $B(3, 5)$، و $C(5, y_C)$. أوجد قيمة الترتيبة $y_C$ لكي تكون النقط $A, B, C$ في استقامية تامة.