معادلة مستقيم
1. المعادلة الديكارتية وشعاع التوجيه
كل مستقيم $(\Delta)$ في المستوي هو عبارة عن مجموعة نقط $M(x, y)$ تحقق ارتباطاً خطياً بين شعاع متحرك وشعاع ثابت يسمى شعاع التوجيه. يعبر عن هذا المسار بالمعادلة الديكارتية:
$$ax + by + c = 0$$
حيث $a$ و $b$ ليسا معدومين معاً، ويتميز المستقيم بالخصائص التالية:
| المفهوم الهندسي | الصياغة الجبرية | الأثر الميكانيكي |
|---|---|---|
| شعاع التوجيه $\vec{u}$ | $\vec{u} = \binom{-b}{a}$ | يحدد منحى المستقيم ويوجه حركة الخط كلياً. |
| المعالم الشاقولية ($b=0$) | $x = -\frac{c}{a}$ | مستقيم عمودي يوازي محور التراتيب (ليس له معامل توجيه). |
2. المعادلة المختصرة (معامل التوجيه والارتفاع)
إذا كان المستقيم غير عمودي ($b \neq 0$)، يمكننا عزل الترتيبة $y$ لنحصل على المعادلة المختصرة التي تسهل دراسة سلوك الميول الجبرية:
$$y = m\cdot x + p$$
| العنصر الجبري | المدلول الهندسي | طريقة الحساب |
|---|---|---|
| معامل التوجيه $m$ (الميل) | يحدد درجة ميلان المستقيم عن الأفق. | إذا شمل المستقيم نقطتين $A$ و $B$ فإن: $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$. |
| الترتيب عند المبدأ $p$ | نقطة تقاطع الخط مع محور التراتيب. | ينتج بالتعويض المباشر لإحداثيات نقطة معلومة تنتمي للمستقيم. |
3. شروط التوازي والتقاطع
ليكن المستقيمان $(\Delta): y = mx + p$ و $(\Delta'): y = m'x + p'$، وضعهما النسبي محكوم بـ:
- التوازي التام: يتوازى المستقيمان إذا تساوى ميلاهما: $m = m'$ (وإذا تساوى $p=p'$ ينطبقان).
- التقاطع: يتقاطع المستقيمان في نقطة فريدة إذا اختلفت الميول: $m \neq m'$، ونحدد إحداثيات النقطة بحل جملة معادلتين.
4. مثال تطبيقي (بناء معادلة مستقيم من نقطتين)
أوجد المعادلة المختصرة للمستقيم $(AB)$ المار بالنقطتين $A(2, 3)$ و $B(4, 7)$.
| المرحلة | الخطوات الحسابية | النتيجة |
|---|---|---|
| 1. حساب الميل $m$ | $m = \frac{7 - 3}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2$ | $m = 2$ |
| 2. تعيين $p$ بالتعويض | نعوض $A(2,3)$ في الدستور: $3 = 2(2) + p \implies 3 = 4 + p$ | $p = 3 - 4 = -1$ |
| 3. صياغة الدستور | المعادلة النهائية للمستقيم هي: $y = 2x - 1$. | $(AB): y = 2x - 1$ |