الحساب الشعاعي في معلم: المركبات والمسافات

لا محاولة بعد...

في معلم متعامد ومتجانس $(O; \vec{i}, \vec{j})$، ترتبط كل نقطة بفاصلة وترتيب، ويترجم كل شعاع بمركبتين تحكمان حركته الأفقية والعمودية:

المفهوم الحسابي	الدستور الجبري	آلية العمل
إحداثيات منتصف قطعة	$X_M = \frac{x_A + x_B}{2} \quad , \quad Y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$	حساب المعدل الحسابي للفواصل والتراتيب لتعيين مركز التناظر $M$.
مركبات الشعاع $\vec{AB}$	$\vec{AB} = \binom{x_B - x_A}{y_B - y_A}$	طرح إحداثيات البداية من إحداثيات النهاية دائماً (النهاية $-$ البداية).

المسافة بين نقطتين $A$ و $B$ (والتي تمثل طول القطعة $[AB]$ أو طويلة الشعاع $\|\vec{AB}\|$) هي تطبيق مباشر لمبرهنة فيثاغورس داخل شبكة الإحداثيات:

$$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$

تنبيه: التربيع يلغي أثر الإشارات السالبة حتماً، والطول الناتج يجب أن يكون عدداً حقيقياً موجباً دائماً.

إذا كان لدينا شعاعان $\vec{u}=\binom{X}{Y}$ و $\vec{v}=\binom{X'}{Y'}$ وعدد حقيقي $k$، فإن الحساب الجبري للأشعة يخضع للقوانين التالية:

- مجموع شعاعين: نجمع المركبات المتناظرة جمعاً مباشراً: $\vec{u} + \vec{v} = \binom{X + X'}{Y + Y'}$.

- جداء شعاع بعدد حقيقي: توزيع الضرب على المركبتين كلياً: $k \cdot \vec{u} = \binom{k \cdot X}{k \cdot Y}$.

في معلم متعامد ومتجانس، لتكن النقاط: $A(1, 2)$، $B(4, 6)$، و $C(-3, 5)$. احسب الطول $AB$، ثم عين إحداثيات $I$ منتصف $[AC]$.

المرحلة	التعويض والحساب	النتيجة القطعية
حساب الطول $AB$	$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2}$ $AB = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25}$	$AB = 5$
حساب منتصف $[AC]$	$x_I = \frac{1 + (-3)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ $y_I = \frac{2 + 5}{2} = \frac{7}{2} = 3.5$	$I(-1, 3.5)$

قاعدة:

المعلم يحول الهندسة المتحركة إلى عمليات جبرية ثابتة؛ مركبات الشعاع هي فروق الإحداثيات (النهاية ناقص البداية)، والمسافة هي جذر مجموع المربعات.