1. مبدأ القراءة البيانية للنهايات

تعتمد القراءة البيانية للنهايات على تتبع سلوك المنحنى الممثل للدالة $(\mathcal{C}_f)$ في معلم متعامد ومتجانس، وذلك برصد مآل تراتيب النقط من المنحنى عندما تؤول فواصلها نحو قيمة حقيقية معينة أو نحو اللانهاية.

2. الخوارزمية التحليلية للقراءة البيانية

لتعيين القيمة التقريبية أو القطعية لـ $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ بيانياً، نتبع الخطوات المنهجية التالية:

3. التصنيف الهندسي لحالات القراءة البيانية

أثناء دراسة مآل المنحنى الممثل للدالة، نميز هندسيا مجموعة حالات رئيسية، نفصلها فيما يلي:

1-نهاية منتهية عندما يؤول $x$ إلى عدد حقيقي ثابت:

تقارب نقط المنحنى نحو نقطة معلومة أو فجوة: تؤول الصور نحو قيمة منتهية $L$.

$$\lim\limits_{x \to a} f(x) = L$$

مثال ذلك، النهاية التالية:

$\lim\limits_{ x \to 0 } \frac{x^3}{x}$

تأمل تمثيلها البياني في الشكل الموالي، تلاحظ ببساطة أن:

$\lim\limits_{x \to 0} \frac{x^3}{x} = 0$

2- نهاية غير منتهية بجوار مستقيم عمودي أو مائل

نعالج تحت هذا العنوان، حالتي الصعود والنزول.

صعود أو نزول المنحنى بشكل غير محدود نحو الأعلى أو الأسفل بجوار مستقيم عمودي أو مائل.

$$\lim\limits_{x \to a} f(x) = \pm\infty$$

مثال ذلك النهاية التالية:

$\lim\limits_{x \to 0} \frac{x^2 + 1}{x}$

التمثيل البياني لهذه الدالة يظهر أن:

$\lim\limits_{x \to 0^-} \frac{x^2 + 1}{x} = -\infty$

و:

$\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{x^2 + 1}{x} = +\infty$

3-الاستقرار الأفقي عند الأطراف

نتعرض هنا أيضا، إلى حالتين، عندما يؤول $x$إلى $\pm\infty$

يمتد المنحنى أفقيًا بجوار مستقيم موازٍ لمحور الفواصل كلما كبرت أو صغرت قيم $x$.

$\lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x) = L$

مثاله:

$\lim\limits_{x \to \pm\infty} \frac{2x+3}{x+1}$

قراءة التمثيل البياني لهذه الدالة، يعطينا:

$\lim\limits_{x \to \pm\infty} \frac{2x+3}{x+1} = 2$

4-الصعود عند الأطراف

إمتداد المنحنى بشكل غير محدود نحو الأعلى عند الأطراف اللانهائية.

$$\lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x) = +\infty$$

هذا الامتداد إلى اللانهاية، يكون إما بإتجاه محور الفواصل أو بإتجاه محور التراتيب.

نأخذ في الرسم الموالي مثالين، الدالة $f(x)$ ، والتي تتزايد إلى اللانهاية بإتجاه محور التراتيب ومعها الدالة $g(x)$ التي تتزايد إلى اللانهاية بإتجاه محور الفواصل.

$f(x) = x^2$

$g(x) = \frac{x}{\sqrt{x+1}}$

عند قراءة الرسمين البيانيين للدالتين نجد أن:

$\lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x) = +\infty$

و:

$\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$

5-نزول المنحنى عند الأطراف

إمتداد المنحنى بشكل غير محدود نحو الأسفل عند الأطراف اللانهائية.

$$\lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x) = -\infty$$

مثال ذلك، من المثال السابق، ماذا لو أضفنا فقط إشارة سالب، للدالتين f و g... لنلاحظ:

$f(x) = -x^2$

$g(x) = -\frac{x}{\sqrt{x+1}}$

ونجملها في الجدول التالي:

4. تطبيقات عملية

---