مفهوم نهاية دالة عددية
الاقتراب، النهاية والصورة
1. مفهوم نهاية دالة عددية
تسمح دراسة النهايات ببحث سلوك وتغيرات الدالة العدديّة $f$ بجوار نقطة أو عند اللانهاية، وتحديد القيم الإرشادية التي تقترب منها صور الدالة عندما يقترب المتغير المستقل من قيمة معينة.
تعريف أولي: نرمز بـ $\lim\limits_{x \to a} f(x) = L$ لقولنا إن صور الدالة $f(x)$ تقترب من القيمة الحقيقية $L$ كلما اقترب المتغير $x$ من القيمة $a$ بالقدر الكافي، دون اشتراط تعريف الدالة عند $a$ بالضرورة.
2. دراسة تحليلية للاقتراب بجوار نقطة
نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ بالعبارة:
$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$
الدالة $f$ غير معرفة عند القيمة $1$ لكونها تعدم المقام. لدراسة سلوك صور القيم القريبة من $1$، نلخص نتائج الاقتراب في الجدولين التاليين:
| قيم المتغير $x$ أقل من 1 $x < 1$ | 0.9 | 0.99 | 0.999 | $\to 1$ |
|---|---|---|---|---|
| الصور بواسطة $f(x)$ | 1.9 | 1.99 | 1.999 | $\to 2$ |
| قيم المتغير $x$ أكبر من 1 $x > 1$ | 1.1 | 1.01 | 1.001 | $\to 1$ |
|---|---|---|---|---|
| الصور بواسطة $f(x)$ | 2.1 | 2.01 | 2.001 | $\to 2$ |
يتبين تحليلياً أنه كلما اقترب المتغير $x$ من القيمة $1$ من اليمين أو اليسار، تقترب قيم $f(x)$ بالتناظر من القيمة $2$. نقول إن نهاية الدالة $f$ عند $1$ هي $2$.
3. التمييز بين مفهومي الصورة والنهاية
يجب التمييز بدقة بين القيمة المباشرة للدالة عند النقطة وبين سلوكها الديناميكي بجوارها:
| المفهوم التحليلي | الصورة $f(a)$ | النهاية $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ |
|---|---|---|
| الدلالة الرياضية | تحديد القيمة العددية القطعية للدالة عند النقطة $a$ مباشرة. | دراسة سلوك قيم الدالة ومآلها عندما يقترب المتغير $x$ من $a$. |
| الوضعية في المثال | غير موجودة (الدالة غير معرفة عند القيمة $1$). | موجودة وتساوي تماماً العدد الحقيقي $2$. |
4. التعبير والترميز الرياضي
نصيغ العبارة تحليلياً على النحو التالي:
$\lim\limits_{x \to 1} f(x) = 2$
وتقرأ: نهاية الدالة $f$ عندما يؤول المتغير $x$ إلى $1$ هي $2$.