تُعد نهايات الدوال المرجعية (المألوفة) الركيزة الأساسية في حساب نهايات الدوال الأكثر تعقيداً. تُقبل هذه النهايات دون برهان في مرحلة التعليم الثانوي وتُعتمد كقواعد مرجعية مباشرة.
| العبارة النموذجية | عند $-\infty$ | عند $+\infty$ |
|---|---|---|
| $x \mapsto x^n$ ($n$ عدد طبيعي زوجي) | $\lim\limits_{x \to -\infty} x^n = +\infty$ | $\lim\limits_{x \to +\infty} x^n = +\infty$ |
| $x \mapsto x^n$ ($n$ عدد طبيعي فردي) | $\lim\limits_{x \to -\infty} x^n = -\infty$ | $\lim\limits_{x \to +\infty} x^n = +\infty$ |
إذا كان الأس $n$ زَوجيّاً ($n=2, 4, 6, \dots$) فإن نهاية دالة القوة عند اللانهايتين تكون دائماً $+\infty$. وإذا كان الأس $n$ فرديّاً ($n=1, 3, 5, \dots$) فإن النهاية عند $-\infty$ تؤول إلى $-\infty$.
تُعرف دالة المقلوب على المجالين $]-\infty; 0[$ و $]0; +\infty[$، وتلخص نهاياتها النموذجية عند أطراف مجالات تعريفها كالآتي:
| العبارة | عند $-\infty$ | عند $+\infty$ | عند $0$ بقيم أقل ($x < 0$) | عند $0$ بقيم أكبر ($x > 0$) |
|---|---|---|---|---|
| $\lim\limits_{x \to x_0} \frac{1}{x}$ | $\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0$ | $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$ | $\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x < 0}} \frac{1}{x} = -\infty$ | $\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} \frac{1}{x} = +\infty$ |
بما أن دالة الجذر التربيعي معرفة على المجال $[0; +\infty[$، فإن دراسة نهايتها تقتصر على أطراف هذا المجال المفتوحة بجوار اللانهاية الموجبة وعند القيمة الصفرية:
| العبارة النموذجية | عند القيمة $0$ | عند $+\infty$ |
|---|---|---|
| $x \mapsto \sqrt{x}$ | $\lim\limits_{x \to 0} \sqrt{x} = 0$ (وهي صورتها المباشرة $f(0)$) | $\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$ |
دالة القيمة المطلقة معرفة على $\mathbb{R}$ وتؤول قيمها دوماً نحو اللانهاية الموجبة عند الأطراف اللانهائية:
| العبارة النموذجية | عند $-\infty$ | عند $+\infty$ |
|---|---|---|
| $x \mapsto |x|$ | $\lim\limits_{x \to -\infty} |x| = +\infty$ | $\lim\limits_{x \to +\infty} |x| = +\infty$ |
بسبب الطبيعة الدورية لكل من الدالتين $x \mapsto \sin x$ و $x \mapsto \cos x$، فإن قيمهما تظل تتأرجح بشكل مستمر ودوري بين $-1$ و $1$ كلما كبر المتغير $x$ أو صغر بلا حدود.
النهايتان $\lim\limits_{x \to \pm\infty} \sin x$ و $\lim\limits_{x \to \pm\infty} \cos x$ غير موجودتين. هذا السلوك الدوري يُعد ممهداً رئيسياً لحساب النهايات باستخدام مبرهنات الحصر والمقارنة.