نهايات الدوال المرجعية
عند أطراف مجالات التعريف
1. مآل ونهايات الدوال المألوفة
تُعد نهايات الدوال المرجعية (المألوفة) الركيزة الأساسية في حساب نهايات الدوال الأكثر تعقيداً. تُقبل هذه النهايات دون برهان في مرحلة التعليم الثانوي وتُعتمد كقواعد مرجعية مباشرة.
2. دالة القوة: $x \mapsto x^n$ (حيث $n \in \mathbb{N}^*$)
| العبارة النموذجية | عند $-\infty$ | عند $+\infty$ |
|---|---|---|
| $x \mapsto x^n$ ($n$ عدد طبيعي زوجي) | $\lim\limits_{x \to -\infty} x^n = +\infty$ | $\lim\limits_{x \to +\infty} x^n = +\infty$ |
| $x \mapsto x^n$ ($n$ عدد طبيعي فردي) | $\lim\limits_{x \to -\infty} x^n = -\infty$ | $\lim\limits_{x \to +\infty} x^n = +\infty$ |
إذا كان الأس $n$ زَوجيّاً ($n=2, 4, 6, \dots$) فإن نهاية دالة القوة عند اللانهايتين تكون دائماً $+\infty$. وإذا كان الأس $n$ فرديّاً ($n=1, 3, 5, \dots$) فإن النهاية عند $-\infty$ تؤول إلى $-\infty$.
3. دالة المقلوب: $x \mapsto \frac{1}{x}$
تُعرف دالة المقلوب على المجالين $]-\infty; 0[$ و $]0; +\infty[$، وتلخص نهاياتها النموذجية عند أطراف مجالات تعريفها كالآتي:
| العبارة | عند $-\infty$ | عند $+\infty$ | عند $0$ بقيم أقل ($x < 0$) | عند $0$ بقيم أكبر ($x > 0$) |
|---|---|---|---|---|
| $\lim\limits_{x \to x_0} \frac{1}{x}$ | $\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0$ | $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$ | $\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x < 0}} \frac{1}{x} = -\infty$ | $\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} \frac{1}{x} = +\infty$ |
4. دالة الجذر التربيعي: $x \mapsto \sqrt{x}$
بما أن دالة الجذر التربيعي معرفة على المجال $[0; +\infty[$، فإن دراسة نهايتها تقتصر على أطراف هذا المجال المفتوحة بجوار اللانهاية الموجبة وعند القيمة الصفرية:
| العبارة النموذجية | عند القيمة $0$ | عند $+\infty$ |
|---|---|---|
| $x \mapsto \sqrt{x}$ | $\lim\limits_{x \to 0} \sqrt{x} = 0$ (وهي صورتها المباشرة $f(0)$) | $\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$ |
5. دالة القيمة المطلقة: $x \mapsto |x|$
دالة القيمة المطلقة معرفة على $\mathbb{R}$ وتؤول قيمها دوماً نحو اللانهاية الموجبة عند الأطراف اللانهائية:
| العبارة النموذجية | عند $-\infty$ | عند $+\infty$ |
|---|---|---|
| $x \mapsto |x|$ | $\lim\limits_{x \to -\infty} |x| = +\infty$ | $\lim\limits_{x \to +\infty} |x| = +\infty$ |
6. دالتا الجيب وجيب التمام (السلوك الاهتزازي)
بسبب الطبيعة الدورية لكل من الدالتين $x \mapsto \sin x$ و $x \mapsto \cos x$، فإن قيمهما تظل تتأرجح بشكل مستمر ودوري بين $-1$ و $1$ كلما كبر المتغير $x$ أو صغر بلا حدود.
النهايتان $\lim\limits_{x \to \pm\infty} \sin x$ و $\lim\limits_{x \to \pm\infty} \cos x$ غير موجودتين. هذا السلوك الدوري يُعد ممهداً رئيسياً لحساب النهايات باستخدام مبرهنات الحصر والمقارنة.