تسمح علاقة شال للزوايا الموجهة بحساب قيس زاوية موجهة لشعاعين بالاعتماد على شعاع وسيط $\vec{w}$ غير معدوم. يكون قيس الزاوية الإجمالية مساوياً لمجموع قيسي الزاويتين الناتجين (بترديد $2\pi$):
$(\vec{u}, \vec{v}) = (\vec{u}, \vec{w}) + (\vec{w}, \vec{v}) + 2k\pi \quad \text{حيث } k \in \mathbb{Z}$
ملاحظة منهجية: تُستخدم هذه الخاصية لتبسيط العبارات الزاوية وحساب أقيايس الزوايا المركبة في الأشكال الهندسية.
تتغير قيم وإشارات أقيايس الزوايا الموجهة لشعاعين تبعاً لتغيير ترتيب الشعاعين أو اتجاههما وفق الخواص الحسابية التالية:
| التحويل الشعاعي للزاوية | العلاقة الحسابية | التفسير الهندسي |
|---|---|---|
| عكس ترتيب الشعاعين | $(\vec{v}, \vec{u}) = -(\vec{u}, \vec{v}) + 2k\pi$ | تغيير ترتيب الشعاعين يؤدي إلى تغيير إشارة قيس الزاوية الموجهة. |
| معاكس الشعاع الثاني | $(\vec{u}, -\vec{v}) = (\vec{u}, \vec{v}) + \pi + 2k\pi$ | عكس اتجاه الشعاع الثاني يؤدي إلى إضافة القيمة $\pi$ لقيس الزاوية. |
| معاكس الشعاع الأول | $(-\vec{u}, \vec{v}) = (\vec{u}, \vec{v}) + \pi + 2k\pi$ | عكس اتجاه الشعاع الأول يؤدي إلى إضافة القيمة $\pi$ لقيس الزاوية. |
| معاكس الشعاعين معاً | $(-\vec{u}, -\vec{v}) = (\vec{u}, \vec{v}) + 2k\pi$ | عكس اتجاه كلا الشعاعين يحافظ على قيس الزاوية الأصلي دون تغيير. |
| الوضعية الهندسية | قيس الزاوية الموجهة $(\vec{u}, \vec{v})$ | التفسير |
|---|---|---|
| الارتباط الخطي (التوازي أو الاستقامية) | $(\vec{u}, \vec{v}) = 0 \quad \text{أو} \quad (\vec{u}, \vec{v}) = \pi$ | يكون الشعاعان في نفس الاتجاه إذا كان القيس $0$، وفي اتجاهين متعاكسين إذا كان القيس $\pi$. |
| التعامد | $(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\pi}{2} \quad \text{أو} \quad (\vec{u}, \vec{v}) = -\frac{\pi}{2}$ | يكون حاملا الشعاعين متعامدين (الزاوية قائمة في الاتجاه المباشر أو غير المباشر). |
علماً أن قيس الزاوية الموجهة $(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\pi}{4}$، احسب القياس الرئيسي للزاوية الموجهة التالية: $\theta = (-\vec{v}, \vec{u})$.
| المرحلة | تطبيق الخواص الحسابية | التبرير الرياضي |
|---|---|---|
| 1. معالجة إشارة الشعاع الأول | $(-\vec{v}, \vec{u}) = (\vec{v}, \vec{u}) + \pi$ | عكس اتجاه الشعاع الأول يضيف القيمة $\pi$ للقيس. |
| 2. قلب ترتيب الشعاعين | $(\vec{v}, \vec{u}) = -(\vec{u}, \vec{v}) = -\frac{\pi}{4}$ | تغيير ترتيب الشعاعين يعكس إشارة القيس المعطى. |
| 3. الحساب العددي | $\theta = -\frac{\pi}{4} + \pi = -\frac{\pi}{4} + \frac{4\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$ | توحيد المقامات وحساب القيمة النهائية. |
| 4. التحقق من القياس الرئيسي | $\frac{3\pi}{4} \in ]-\pi ; \pi]$ | بما أن النتيجة تنتمي للمجال المعين، فإنها تمثل القياس الرئيسي للزاوية. |
تسمح علاقة شال بتبسيط حسابات الزوايا الموجهة عبر إدخال أشعة وسيطة متسلسلة، في حين يعادل ضرب أحد الشعاعين في عدد سالب إضافة القيمة $\pi$ لقيس الزاوية.