من أجل أي عددين حقيقيين $a$ و $b$، تحقق دوال الجيب وجيب التمام العلاقات التالية لنشر مجموع أو فرق زاويتين:
| الخاصية | العبارة الجبرية |
|---|---|
| جيب تمام المجموع | $\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$ |
| جيب تمام الفرق | $\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$ |
| جيب المجموع | $\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$ |
| جيب الفرق | $\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$ |
بالتعويض عن $b = a$ في دساتير المجموع السابقة، نتحصل على دساتير مضاعفة الزاوية التالية:
$$\sin(2a) = 2 \sin a \cos a$$
$$\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a$$
وباستعمال العلاقة الأساسية لحساب المثلثات: $\cos^2 a + \sin^2 a = 1$، يمكن كتابة $\cos(2a)$ على الشكلين التاليين:
$\cos(2a) = 2\cos^2 a - 1$ $\quad \text{أو} \quad$ $\cos(2a) = 1 - 2\sin^2 a$
| الزاوية | جيب تمام الزاوية ($\cos$) | جيب الزاوية ($\sin$) |
|---|---|---|
| الزاوية المعاكسة ($-a$) | $\cos(-a) = \cos a$ (دالة زوجية) | $\sin(-a) = -\sin a$ (دالة فردية) |
| الزاوية المكملة ($\pi - a$) | $\cos(\pi - a) = -\cos a$ | $\sin(\pi - a) = \sin a$ |
| الزاوية بزيادة نصف دورة ($\pi + a$) | $\cos(\pi + a) = -\cos a$ | $\sin(\pi + a) = -\sin a$ |
احسب القيمة الدقيقة لـ $\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)$، علماً أن: $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$.
| المرحلة الحسابية | خطوات التعويض وتطبيق العلاقة | النتيجة |
|---|---|---|
| 1. اختيار الدستور المناسب | نطبق دستور جيب تمام الفرق: $\cos(a-b)$ $\cos\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4} + \sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4}$ |
كتابة العبارة بدلالة زوايا شهيرة |
| 2. التعويض بالقيم الشهيرة | نعوض القيم المعلومة: $\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$ ، $\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ، $\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ، $\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ |
تعويض النسب المثلثية |
| 3. الحساب والتبسيط | $=\left(\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ $= \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}$ |
$\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ |
تُستخدم دساتير التحويل لتبسيط العبارات المثلثية وحساب جيب وجيب تمام الزوايا غير الشهيرة عن طريق تفكيكها إلى مجموع أو فرق زوايا مألوفة.