الزاوية الموجهة لشعاعين والقياس الرئيسي
1. توجيه المستوي والدائرة المثلثية
لتوجيه المستوي، نختار دائرة نصف قطرها $R=1$ مركزها مبدأ المعلم، ونحدد عليها اتجاهين للحركة:
- الاتجاه المباشر (الموجب): وهو عكس اتجاه دوران عقارب الساعة (الاتجاه المثلثي).
- الاتجاه غير المباشر (السالب): وهو الاتجاه الموافق لدوران عقارب الساعة.
2. مفهوم الزاوية الموجهة لشعاعين
لتكن $\vec{u}$ و $\vec{v}$ ثنائية أشعة غير معدومة في مستوٍ موجه. تعين الثنائية $(\vec{u}, \vec{v})$ زاوية موجهة لشعاعين. قيس هذه الزاوية بالراديان ليس وحيداً، بل ترمز $\theta$ إلى مجموعة من القياسات التي تختلف فيما بينها بعدد من الدورات الكاملة ($2\pi$):
$$(\vec{u}, \vec{v}) = \theta + 2k\pi \quad \text{حيث } k \in \mathbb{Z}$$
3. القياس الرئيسي لزاوية موجهة
من بين القياسات العديدة للزاوية الموجهة، يوجد قياس وحيد $\alpha$ ينتمي إلى المجال نصف المفتوح $]-\pi ; \pi]$، ويسمى هذا القياس بـ القياس الرئيسي للزاوية الموجهة.
| قيمة القياس الرئيسي $\alpha$ | اتجاه الحركة | التفسير الهندسي |
|---|---|---|
| $\alpha > 0$ | حركة في الاتجاه المباشر. | الزاوية تتشكل عكس اتجاه عقارب الساعة. |
| $\alpha < 0$ | حركة في الاتجاه غير المباشر. | الزاوية تتشكل في اتجاه عقارب الساعة. |
| $\alpha = \pi$ | نصف دورة. | الشعاعان متعاكسان في الاتجاه (زاوية مستقيمة). |
4. طريقة تعيين القياس الرئيسي
لتعيين القياس الرئيسي لزاوية معطاة على الشكل $\theta = \frac{17\pi}{3}$، نتبع طريقة تفكيك البسط بالاعتماد على أقرب مضاعف زوجي للمقام:
| الخطوة الحسابية | التطبيق العددي | التبرير الرياضي |
|---|---|---|
| 1. البحث عن المضاعف الزوجي الأقرب | $\frac{17\pi}{3} = \frac{18\pi - \pi}{3}$ | العدد $18$ هو أقرب مضاعف للمقام $3$ يعطي ناتجاً زوجياً $(18/3=6).$ |
| 2. تفكيك الكسر واختزاله | $\theta = \frac{18\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = 6\pi - \frac{\pi}{3}$ | عزل عدد الدورات الكاملة: $6\pi = 3 \times (2\pi)$ (أي $3$ دورات كاملة). |
| 3. التحقق من الانتماء للمجال | $\alpha = -\frac{\pi}{3}$ | بما أن $-\frac{\pi}{3} \in ]-\pi ; \pi]$، فإن هذا هو القياس الرئيسي للزاوية. |
القياس الرئيسي لزاوية موجهة يمثل أقصر مسار دوراني للانتقال من اتجاه الشعاع الأول إلى اتجاه الشعاع الثاني على الدائرة المثلثية دون إضافة دورات زائدة.