استمرارية دالة عند قيمة معلومة
الشروط التحليلية والموازنة الجبرية بين النهاية والصورة النقطية
1. التعريف والنص النظامي للاستمرارية عند قيمة
تكون دالة عددية $f$ معرفة على مجال $I$ مستمرة عند قيمة حقيقية $a$ تنتمي إلى $I$، إذا وفقط إذا كانت نهاية الدالة عندما يؤول المتغير $x$ نحو $a$ موجودة وتطابق تماماً الصورة العددية $f(a)$.
يستوجب هذا التعريف تحليلياً التحقق من ثلاثة شروط نظامية متكاملة تصاغ كالآتي:
| الشرط المنهجي | الصياغة والشرط الرياضي | المدلول والتعليل التحليلي |
|---|---|---|
| 1. وجود الصورة النقطية | $a \in D_f$ | الدالة $f$ معرفة عند القيمة $a$ (المقدار $f(a)$ عدد حقيقي ثابت ومعلوم). |
| 2. وجود النهاية الفاصلية | $\lim\limits_{x \to a} f(x) = L$ (حيث $L \in \mathbb{R}$) | نهاية الدالة بجوار $a$ منتهية ومستقرة عند قيمة حقيقية قطعية $L$. |
| 3. تطابق القيمة والنهاية | $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$ | تساوي القيمة المآلية للنهاية مع الصورة الجبرية (الشرط الحاسم للاستمرارية). |
2. الشروط التحليلية لعدم استمرارية دالة
تُصنف الدالة العدَدية على أنها غير مستمرة (منفصلة تحليلياً) عند القيمة الحقيقية $a$ في الحالات المنهجية التالية:
1. إذا كانت القيمة $a$ لا تنتمي إلى مجموعة تعريف الدالة $f$ ($a \notin D_f$).
2. إذا كانت نهاية الدالة عندما يؤول $x$ نحو $a$ غير منتهية (تؤول إلى اللانهاية $\pm\infty$).
3. إذا كانت النهاية موجودة ومنتهية ($L$) لكنها تختلف تماماً عن الصورة المعينة للدالة: $\lim\limits_{x \to a} f(x) \neq f(a)$.
3. تطبيق نموذجي مشروح (فحص الاستمرارية)
لتكن الدالة العددية $f$ المعرفة على $\mathbb{R}$ بما يلي:
$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 4}{x - 2} & \text{من أجل } x \neq 2 \\ 4 & \text{من أجل } x = 2 \end{cases}$
المطلوب: ادرس استمرارية الدالة $f$ عند القيمة $x_0 = 2$.
| المرحلة المنهجية | الإجراء الجبري والحسابي | الاستنتاج التحليلي |
|---|---|---|
| 1. تعيين الصورة العددية | حسب صيغة الدالة الفرعية: $f(2) = 4$ | الدالة معرفة عند $2$. |
| 2. حساب النهاية الجوارية | $\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim\limits_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim\limits_{x \to 2} (x + 2) = 4$ | النهاية موجودة ومنتهية. |
| 3. المقارنة والموازنة | بما أن: $\lim\limits_{x \to 2} f(x) = f(2) = 4$ | شرط التطابق محقق تماماً. |
تُسمى هذه الحالة تحليلياً بتمديد الدالة بالاستمرارية عند نقطة؛ حيث تم تفادي عدم تعريف العبارة الكسرية عند القيمة $2$ من خلال صياغة دالة متفرعة تمنح النقطة صورة مطابقة تماماً لنهايتها التحليلية المستنتجة بالاختزال.