1. التعريف والنص النظامي للاستمرارية عند قيمة

تكون دالة عددية $f$ معرفة على مجال $I$ مستمرة عند قيمة حقيقية $a$ تنتمي إلى $I$، إذا وفقط إذا كانت نهاية الدالة عندما يؤول المتغير $x$ نحو $a$ موجودة وتطابق تماماً الصورة العددية $f(a)$.

يستوجب هذا التعريف تحليلياً التحقق من ثلاثة شروط نظامية متكاملة تصاغ كالآتي:

2. الشروط التحليلية لعدم استمرارية دالة

تُصنف الدالة العدَدية على أنها غير مستمرة (منفصلة تحليلياً) عند القيمة الحقيقية $a$ في الحالات المنهجية التالية:

1. إذا كانت القيمة $a$ لا تنتمي إلى مجموعة تعريف الدالة $f$ ($a \notin D_f$).

2. إذا كانت نهاية الدالة عندما يؤول $x$ نحو $a$ غير منتهية (تؤول إلى اللانهاية $\pm\infty$).

3. إذا كانت النهاية موجودة ومنتهية ($L$) لكنها تختلف تماماً عن الصورة المعينة للدالة: $\lim\limits_{x \to a} f(x) \neq f(a)$.

3. تطبيق نموذجي مشروح (فحص الاستمرارية)

لتكن الدالة العددية $f$ المعرفة على $\mathbb{R}$ بما يلي:

$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 4}{x - 2} & \text{من أجل } x \neq 2 \\ 4 & \text{من أجل } x = 2 \end{cases}$

المطلوب: ادرس استمرارية الدالة $f$ عند القيمة $x_0 = 2$.

4. تطبيقات ومباحث حسابية للتدريب

---