الاستمرارية على اليمين وعلى اليسار

دراسة استمرارية الدوال المعرفة بعبارات مجالية متفرعة بجوار نقط التفرع

لا محاولة بعد...

1. الدواعي التحليلية لدراسة الاستمرارية من الجهتين

يستوجب فحص استمرارية دالة عددية دراسة مآلها على اليمين وعلى اليسار بشكل مستقل، عندما تكون الدالة معرفة بعبارات جبرية مختلفة على يمين ويسار القيمة الحقيقية المستهدفة $a$ (نقطة التفرع المجالي)، حيث لا يكفي في هذه الحالة حساب نهاية عامة موحدة، بل يجب إثبات اتساق النهايات الجوارية مع الصورة النقطية لتفادي أي انفصال هندسي.

2. المبرهنة النظامية للاستمرارية من الجهتين

تكون الدالة العددية $f$ مستمرة عند القيمة الحقيقية $a$ إذا وفقط إذا كانت مستمرة على اليمين وعلى اليسار عند هذه القيمة معاً وبشكل متطابق، ويصاغ هذا الشرط تحليلياً بالشرط المركب التالي:

الشرط التحليلي الصياغة الرياضية النموذجية
1. الاستمرارية على اليمين $\lim\limits_{x \to a^+} f(x) = f(a)$
2. الاستمرارية على اليسار $\lim\limits_{x \to a^-} f(x) = f(a)$
3. النتيجة القطعية المستنتجة $\lim\limits_{x \to a^+} f(x) = \lim\limits_{x \to a^-} f(x) = f(a)$

3. تطبيق نموذجي (دراسة دالة معرفة بعبارات متفرعة)

لتكن الدالة العددية $f$ المعرفة على $\mathbb{R}$ بالعبارات المجالية المتفرعة التالية:

$f(x) = \begin{cases} x+1 & \text{من أجل } x \ge 1 \\ x^2 & \text{من أجل } x < 1 \end{cases}$

المطلوب: ادرس استمرارية الدالة $f$ عند القيمة الحقيقية $x_0 = 1$.

المرحلة المنهجية الإجراء الحسابي التحليلي الاستنتاج الجواري القطعي
1. حساب الصورة العددية تُحسب من العبارة الأولى (شرط المساواة): $f(1) = 1 + 1 = 2$ الدالة معرفة وصورتها حقيقية منتهية.
2. حساب النهاية على اليمين $\lim\limits_{x \to 1^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 1^+} (x+1) = 1 + 1 = 2$ تطابق الصورة البيانية (مستمرة على اليمين).
3. حساب النهاية على اليسار $\lim\limits_{x \to 1^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 1^-} (x^2) = (1)^2 = 1$ تختلف عن الصورة البيانية (غير مستمرة على اليسار).

4. مباحث وتطبيقات عملية للتدريب

السابق: استمرارية دالة عند قيمة معلومة
التالي: استمرارية دالة على مجال
الفهرس