1. الخاصية

ليكن $n$ عدداً طبيعياً حيث $n > 1$. إذا كان $a \equiv b \pmod{n}$، فإن من أجل كل عدد طبيعي $k$:

$a^k \equiv b^k \pmod{n}$

تسمح هذه الخاصية بتعويض أساس القوة بباقي قسمته الإقليدية على $n$ قبل إجراء عملية الرفع إلى الأس.

2. حالتان خاصتان (العددان 1 و -1)

يسهل حساب موافقة القوى عند اختيار قيم الأساس المساوي لـ $1$ أو $-1$ بالاستفادة من الخواص الآتية:

• من أجل كل عدد طبيعي $k$، فإن: $1^k \equiv 1 \pmod{n}$

• إذا كان $k$ عدداً زوجياً، فإن: $(-1)^k \equiv 1 \pmod{n}$

• إذا كان $k$ عدداً فردياً، فإن: $(-1)^k \equiv -1 \pmod{n}$

3. أمثلة تطبيقية

مثال 1: لحساب باقي قسمة $4^{10}$ على $3$:

لدينا $4 \equiv 1 \pmod{3}$، وبتطبيق خاصية التلاؤم مع القوى نجد:

$4^{10} \equiv 1^{10} \pmod{3} \implies 4^{10} \equiv 1 \pmod{3}$

مثال 2: لحساب باقي قسمة $2^{10}$ على $3$:

لدينا $2 \equiv -1 \pmod{3}$، وبتطبيق خاصية التلاؤم مع القوى نجد:

$2^{10} \equiv (-1)^{10} \pmod{3} \implies 2^{10} \equiv 1 \pmod{3}$ (لأن الأس 10 عدد زوجي).

---