عند دراسة بواقي قسمة القوى $a^n$ على عدد طبيعي $m$ (حيث $n \in \mathbb{N}$)، نلاحظ أن البواقي تتكرر بانتظام. أصغر عدد طبيعي غير معدوم $k$ يحقق $a^k \equiv 1 \pmod{m}$ يسمى دور المتتالية $(a^n)_{n \in \mathbb{N}}$.
مثال: دراسة بواقي $2^n$ بترديد $3$:
$2^0 \equiv 1 \pmod{3}$
$2^1 \equiv 2 \pmod{3}$
$2^2 \equiv 4 \equiv 1 \pmod{3}$
البواقي هي $(1, 2, 1, 2, ...)$، وعليه فإن الدور هو $k=2$.
2. جدول البواقي بدلالة الدور
يمكن تلخيص بواقي القسمة وفق قيم الأس $n$ بالنسبة للدور $k$:
3. منهجية التعامل مع الأسس
لتعيين باقي قسمة $a^n$ على $m$، نتبع الخطوات التالية:
1. حساب البواقي المتتالية $a^0, a^1, a^2, ...$ حتى الحصول على الباقي 1.
2. استنتاج الدور $k$.
3. قسمة الأس $n$ على الدور $k$ وكتابته على الشكل: $n = kq + r$.
4. استنتاج الباقي من خلال القيمة الموافقة لـ $r$ في الجدول.
ملاحظة:
الهدف في معظم التمارين هو الوصول إلى الباقي 1، حيث يمثل هذا الباقي نهاية الدورة وبداية دورة جديدة، مما يسمح بتبسيط أي أس مهما كان كبيراً.