1. طويلة العدد المركب

طويلة العدد المركب $z = a + bi$ هي المسافة من المبدأ $O$ إلى النقطة $M(a, b)$، ونرمز لها بـ $r$ أو $|z|$:

$|z| = r = \sqrt{a^2 + b^2}$

وهي قيمة حقيقية موجبة دائماً.

2. عمدة العدد المركب

عمدة العدد $z$ هي الزاوية $\theta$ التي يصنعها الشعاع $\vec{OM}$ مع محور الفواصل الموجب:

$\cos(\theta) = \frac{a}{|z|}, \quad \sin(\theta) = \frac{b}{|z|}$

نكتب: $\theta \equiv arg(z) \pmod{2\pi}$.

3. حالات هندسية خاصة

• حقيقي موجب تماماً: $arg(z) = 0$

• حقيقي سالب تماماً: $arg(z) = \pi$

• تخيلي صرف موجب: $arg(z) = \frac{\pi}{2}$

• تخيلي صرف سالب: $arg(z) = -\frac{\pi}{2}$

---