1. مرافق العدد المركب

إذا كان $z = a + bi$، فإن مرافقه $\bar{z}$ هو:

$\bar{z} = a - bi$

هندسياً، يمثل المرافق الانعكاس المرآتي للعدد $z$ بالنسبة لمحور الفواصل (المحور الحقيقي).

2. الخصائص الجبرية للمرافق

يتميز المرافق بتوزيعه على العمليات الحسابية:

• $\overline{z+z'} = \bar{z} + \bar{z}'$

• $\overline{z \times z'} = \bar{z} \times \bar{z}'$

• $\overline{(z^n)} = (\bar{z})^n$

3. خاصية الجداء الأساسية

جداء أي عدد مركب في مرافقه يعطي عدداً حقيقياً موجباً:

$z \times \bar{z} = a^2 + b^2$

تستخدم هذه الخاصية لتنطيق المقامات في الكسور المركبة.

4. حساب مقلوب العدد المركب

لحساب $\frac{1}{z}$، نضرب البسط والمقام في مرافق المقام $\bar{z}$:

$\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{z \times \bar{z}} = \frac{a - bi}{a^2 + b^2} = \frac{a}{a^2 + b^2} - \frac{b}{a^2 + b^2}i$