باستخدام الطويلة $r$ والعمدة $\theta$، يُكتب العدد المركب $z$ بالشكل المثلثي:
$z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$
هذا التمثيل يربط القيمة المطلقة للعدد بموقعه الزاوي على الدائرة المثلثية.
وفقاً لصيغة أويلر، يمكن اختصار العبارة $(\cos \theta + i \sin \theta)$ إلى $e^{i\theta}$، ليصبح الشكل الأسّي:
$z = r e^{i\theta}$
هذا الشكل هو الأكثر فاعلية في التعامل مع الجداءات والقسمة والقوى.
تتبسط العمليات الحسابية في الشكل الأسّي إلى خواص القوى المألوفة:
• الجداء: $r e^{i\theta} \times r' e^{i\theta'} = (rr') e^{i(\theta+\theta')}$ (نضرب الطويلتين ونجمع العمدتين).
• القسمة: $\frac{r e^{i\theta}}{r' e^{i\theta'}} = \frac{r}{r'} e^{i(\theta-\theta')}$ (نقسم الطويلتين ونطرح العمدتين).
• المرافق: $\bar{z} = r e^{-i\theta}$ (تنعكس إشارة العمدة).
الشكل الأسّي ليس مجرد صيغة رمزية، بل هو المحرك الأساسي لحل مسائل الدورانات والتحويلات النقطية بكفاءة عالية.