1. حساب المميز

لحل المعادلة $az^2 + bz + c = 0$ (مع $a, b, c \in \mathbb{R}$)، نحسب المميز:

$\Delta = b^2 - 4ac$

2. الحالات الجبرية

• إذا كان $\Delta > 0$: حلان حقيقيان $z_1, z_2 = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.

• إذا كان $\Delta = 0$: حل حقيقي مضاعف $z_0 = -\frac{b}{2a}$.

• إذا كان $\Delta < 0$: حلان مركبان مترافقان، نكتب $\Delta = i^2 |\Delta|$، والحلان هما:

$z_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$

3. مثال تطبيقي

حل المعادلة $z^2 - 2z + 5 = 0$:

1. $\Delta = (-2)^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16$.

2. بما أن $\Delta < 0$، إذن $\sqrt{\Delta} = \sqrt{16i^2} = 4i$.

3. الحلان: $z_1 = \frac{2 - 4i}{2} = 1 - 2i$ و $z_2 = \bar{z}_1 = 1 + 2i$.

---