مرجح ثلاث وأربع نقط: توسيع الجمل المثقلة

لا محاولة بعد...

1. وجود مرجح ثلاث أو أربع نقط وشرطه

لتكن $A$، $B$ و $C$ ثلاث نقط من المستوي، مثقلة بالمعاملات الحقيقيين $\alpha$، $\beta$ و $\gamma$ على الترتيب. يقال عن النقطة $G$ أنها مرجح الجملة المثقلة $\{(A, \alpha), (B, \beta), (C, \gamma)\}$ إذا وفقط إذا تحقق الشرط التالي:

$$\alpha + \beta + \gamma \neq 0$$

وتكون العلاقة الشعاعية لتعريفه هي:

$$\alpha \vec{GA} + \beta \vec{GB} + \gamma \vec{GC} = \vec{0}$$

وينطبق نفس التعريف على أربع نقط بتمديد العبارة بإضافة النقطة $D$ ومعاملها $\delta$ شريطة أن يكون: $\alpha + \beta + \gamma + \delta \neq 0$.

2. العبارة الشعاعية للإنشاء الهندسي

لإنشاء المرجح $G$ لثلاث نقط، نستخدم علاقة شال بإدخال النقطة $A$ في الشعاعين $\vec{GB}$ و $\vec{GC}$، لنستخرج علاقة الإنشاء التي تنطلق من النقطة الثابتة $A$:

$$\vec{AG} = \frac{\beta}{\alpha + \beta + \gamma} \vec{AB} + \frac{\gamma}{\alpha + \beta + \gamma} \vec{AC}$$

تسمح هذه العلاقة بإنشاء النقطة $G$ كتركيب شعاعي معلوم في المستوي انطلاقاً من النقطة $A$.

3. حالة خاصة: مركز ثقل المثلث والرباعي (تساوي المعاملات)

الجملة الهندسية	شرط المعاملات	الأثر الهندسي
مركز ثقل المثلث $ABC$	$\alpha = \beta = \gamma$	النقطة $G$ هي نقطة تلاقي متوسطات المثلث، وتحقق العبارة: $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$.
مركز ثقل الرباعي $ABCD$	$\alpha = \beta = \gamma = \delta$	النقطة $G$ هي نقطة تلاقي قطع الخطوط المتوسطة التي تصل منتصفات الأضلاع المتقابلة.

4. مثال تطبيقي (الإنشاء الشعاعي لمرجح ثلاث نقط)

أنشئ النقطة $G$ مرجح الجملة المثقلة: $\{(A, 2), (B, 1), (C, 1)\}$.

المرحلة	الحساب والتعويض	النتيجة الهندسية
1. فحص الوجود	$2 + 1 + 1 = 4 \neq 0$	المرجح $G$ موجود ووحيد.
2. حساب علاقة الإنشاء	$\vec{AG} = \frac{1}{4}\vec{AB} + \frac{1}{4}\vec{AC}$	الانطلاق من الرأس $A$.
3. إنشاء النقطة	$\vec{AG} = \frac{1}{4}(\vec{AB} + \vec{AC})$	ننشئ محصلة متوازي الأضلاع للشعاعين $\vec{AB}$ و $\vec{AC}$، ثم نأخذ ربع الشعاع الناتج لتعيين موضع $G$.

قاعدة:

توسيع المرجح لعدة نقط يحافظ على العلاقة الشعاعية الصفرية؛ وعند تساوي المعاملات، يؤول المرجح مباشرة إلى مركز الثقل الهندسي للشكل المألوف (مثلث أو رباعي).

5. تطبيقات وتمارين

السابق: مرجح نقطتين مثقلتين: الإنشاء الهندسي

التالي: خواص المرجح