مرجح ثلاث وأربع نقط: توسيع الجمل المثقلة
1. وجود مرجح ثلاث أو أربع نقط وشرطه
لتكن $A$، $B$ و $C$ ثلاث نقط من المستوي، مثقلة بالمعاملات الحقيقيين $\alpha$، $\beta$ و $\gamma$ على الترتيب. يقال عن النقطة $G$ أنها مرجح الجملة المثقلة $\{(A, \alpha), (B, \beta), (C, \gamma)\}$ إذا وفقط إذا تحقق الشرط التالي:
$$\alpha + \beta + \gamma \neq 0$$
وتكون العلاقة الشعاعية لتعريفه هي:
$$\alpha \vec{GA} + \beta \vec{GB} + \gamma \vec{GC} = \vec{0}$$
وينطبق نفس التعريف على أربع نقط بتمديد العبارة بإضافة النقطة $D$ ومعاملها $\delta$ شريطة أن يكون: $\alpha + \beta + \gamma + \delta \neq 0$.
2. العبارة الشعاعية للإنشاء الهندسي
لإنشاء المرجح $G$ لثلاث نقط، نستخدم علاقة شال بإدخال النقطة $A$ في الشعاعين $\vec{GB}$ و $\vec{GC}$، لنستخرج علاقة الإنشاء التي تنطلق من النقطة الثابتة $A$:
$$\vec{AG} = \frac{\beta}{\alpha + \beta + \gamma} \vec{AB} + \frac{\gamma}{\alpha + \beta + \gamma} \vec{AC}$$
تسمح هذه العلاقة بإنشاء النقطة $G$ كتركيب شعاعي معلوم في المستوي انطلاقاً من النقطة $A$.
3. حالة خاصة: مركز ثقل المثلث والرباعي (تساوي المعاملات)
| الجملة الهندسية | شرط المعاملات | الأثر الهندسي |
|---|---|---|
| مركز ثقل المثلث $ABC$ | $\alpha = \beta = \gamma$ | النقطة $G$ هي نقطة تلاقي متوسطات المثلث، وتحقق العبارة: $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$. |
| مركز ثقل الرباعي $ABCD$ | $\alpha = \beta = \gamma = \delta$ | النقطة $G$ هي نقطة تلاقي قطع الخطوط المتوسطة التي تصل منتصفات الأضلاع المتقابلة. |
4. مثال تطبيقي (الإنشاء الشعاعي لمرجح ثلاث نقط)
أنشئ النقطة $G$ مرجح الجملة المثقلة: $\{(A, 2), (B, 1), (C, 1)\}$.
| المرحلة | الحساب والتعويض | النتيجة الهندسية |
|---|---|---|
| 1. فحص الوجود | $2 + 1 + 1 = 4 \neq 0$ | المرجح $G$ موجود ووحيد. |
| 2. حساب علاقة الإنشاء | $\vec{AG} = \frac{1}{4}\vec{AB} + \frac{1}{4}\vec{AC}$ | الانطلاق من الرأس $A$. |
| 3. إنشاء النقطة | $\vec{AG} = \frac{1}{4}(\vec{AB} + \vec{AC})$ | ننشئ محصلة متوازي الأضلاع للشعاعين $\vec{AB}$ و $\vec{AC}$، ثم نأخذ ربع الشعاع الناتج لتعيين موضع $G$. |
توسيع المرجح لعدة نقط يحافظ على العلاقة الشعاعية الصفرية؛ وعند تساوي المعاملات، يؤول المرجح مباشرة إلى مركز الثقل الهندسي للشكل المألوف (مثلث أو رباعي).