لتكن $A$ و $B$ نقطتين من المستوي، مثقلتين بالمعاملين الحقيقيين $\alpha$ و $\beta$ على الترتيب. نسمي الثنائيتين $(A, \alpha)$ و $(B, \beta)$ نقطتين مثقلتين. يقال عن النقطة $G$ أنها مرجح الجملة المثقلة $\{(A, \alpha), (B, \beta)\}$ إذا وفقط إذا تحقق الشرط التالي:
| شرط الوجود | العلاقة الشعاعية | الأثر الهندسي |
|---|---|---|
| $\alpha + \beta \neq 0$ | $\alpha \vec{GA} + \beta \vec{GB} = \vec{0}$ | مجموع المعاملات غير معدوم لضمان وجود ووحدانية النقطة $G$ في المستوي. |
لإنشاء النقطة $G$، نستخدم علاقة شال بإدخال النقطة $A$ في الشعاع $\vec{GB}$، لنستخرج علاقة الإنشاء التي تنطلق من النقطة الثابتة $A$:
$$\vec{AG} = \frac{\beta}{\alpha + \beta} \vec{AB}$$
موضع النقطة $G$ بالنسبة إلى القطعة $[AB]$ يتحدد حسب إشارة المعاملات:
- إذا كان للمعاملين $\alpha$ و $\beta$ نفس الإشارة: تقع النقطة $G$ داخل القطعة $[AB]$.
- إذا كان للمعاملين إشارتان مختلفتان: تقع النقطة $G$ خارج القطعة $[AB]$ من جهة النقطة ذات المعامل الأكبر من حيث القيمة المطلقة.
| الخاصية | الصياغة الجبرية | الأثر |
|---|---|---|
| التجانس (الصمود) | $\alpha \vec{GA} + \beta \vec{GB} = \vec{0} \iff k\alpha \vec{GA} + k\beta \vec{GB} = \vec{0}$ | لا يتغير المرجح إذا ضربنا أو قسمنا المعاملات على نفس العدد غير المعدوم $k$. |
| مركز المسافات المتساوية | إذا كان: $\alpha = \beta$ | يؤول المرجح $G$ إلى منتصف القطعة $[AB]$، وتصبح العبارة: $\vec{GA} + \vec{GB} = \vec{0}$. |
أنشئ النقطة $G$ مرجح الجملة المثقلة $\{(A, 2), (B, 1)\}$.
| المرحلة | التعويض والتطبيق | النتيجة الهندسية |
|---|---|---|
| 1. فحص الوجود | $2 + 1 = 3 \neq 0$ | المرجح $G$ موجود ووحيد. |
| 2. حساب علاقة الإنشاء | $\vec{AG} = \frac{1}{2+1}\vec{AB} \implies \vec{AG} = \frac{1}{3}\vec{AB}$ | تقسيم القطعة $[AB]$ إلى 3 أجزاء متساوية. |
| 3. إنشاء النقطة | نضع النقطة $G$ عند الجزء الأول انطلاقاً من $A$ باتجاه $B$. | $G$ تقع داخل $[AB]$ وهي أقرب إلى $A$ لأن $|\alpha| > |\beta|$. |
رياضياتياً، المرجح هو الامتداد النظري لمركز ثقل الجمل الميكانيكية (مبدأ الرافعة) الذي درسته سابقاً؛ حيث تمثل المعاملات ثقل النقط، والنقطة الأكبر ثقلاً (من حيث القيمة المطلقة) تكون الأقرب إلى المرجح.