الارتباط الخطي لشعاعين في الفضاء هو المعيار الجبري الكافي لإثبات توازي المستقيمات الحاملة أو وقوع النقط على استقامة واحدة.
التعريف: نقول عن شعاعين $\vec{u}$ و $\vec{v}$ في الفضاء أنهما مرتبطين خطياً إذا وفقط إذا كان أحدهما معدوماً، أو وُجد عدد حقيقي $k$ يحقق العلاقة الجبرية التالية:
يكون المستقيمان $(D_1)$ و $(D_2)$ متوازيين إذا وفقط إذا كان الشعاعان $\vec{u}$ و $\vec{v}$ مرتبطين خطياً.
إثبات استقامية النقط
لتكن $A$، $B$ و $C$ ثلاث نقط متميزة من الفضاء الهندي.
تكون النقط $A$، $B$ و $C$ في استقامية واحدة إذا وفقط إذا كان الشعاعان $\vec{AB}$ و $\vec{AC}$ مرتبطين خطياً (أي: $\vec{AC} = k \cdot \vec{AB}$).
3. مثال تطبيقي (إثبات استقامية نقط في مجسم)
ليكن $ABCD$ رباعي وجوه. نعتبر النقطتين $I$ و $J$ المعرفتين بالعلاقتين الشعاعيتين: $\vec{AI} = 2\vec{AB} + \vec{AC}$ $\vec{AJ} = \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}$ أثبت أن النقط $A$، $I$ و $J$ في استقامية واحدة.
المرحلة البرهانية
الخطوات الجبرية والتحليل الشعاعي
التعليل الرياضي
1. فحص العبارتين الشعاعيتين
لدينا العبارة الأولى تنطلق من المبدأ $A$: $\vec{AI} = 2\vec{AB} + \vec{AC}$
معطيات نص التمرين.
2. إخراج عامل مشترك
نحلل العبارة الثانية بسحب العدد $2$ كعامل مشترك جبري خارج القوسين: $\vec{AI} = 2 \left( \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC} \right)$
المطابقة الرياضية المباشرة.
3. التعويض والربط
نلاحظ أن المقدار داخل القوسين هو نفسه العبارة الشعاعية لـ $\vec{AJ}$: نعوض مباشرة لنجد: $\vec{AI} = 2 \cdot \vec{AJ}$.
العلاقة السببية بين الشعاعين.
4. صياغة الاستنتاج
بما أن $\vec{AI} = 2\vec{AJ}$، فإن العدد الحقيقي $k=2$. الشعاعان $\vec{AI}$ و $\vec{AJ}$ مرتبطين خطياً ويشتركان في النقطة $A$.
النقط $A$، $I$ و $J$ في استقامية واحدة قطعية.
قاعدة هندسية:
الارتباط الخطي لشعاعين يضمن توازي الحوامل هندسياً؛ فإذا اشترك الشعان المرتبطان خطياً في نقطة واحدة (مثل النقطة $A$)، تحول التوازي تلقائياً إلى انطباق، مما يثبت استقامية النقط المكونة لهما.