الارتباط الخطي لثلاثة أشعة والوجود في مستوٍ واحد
1. مفهوم الأشعة المتوحدة في مستوٍ واحد (Coplanar Vectors)
نقول عن ثلاثة أشعة $\vec{u}$، $\vec{v}$ و $\vec{w}$ في الفضاء أنها متوحدة في مستوٍ واحد إذا أمكن رسم ممثلات لها تنطلق من نفس المبدأ وتقع حواملها جميعاً في مستوٍ واحد أو توازي مستوياً واحداً.
التعريف الجبري (الارتباط الخطي): تكون الأشعة غير المعدومة $\vec{u}$، $\vec{v}$ و $\vec{w}$ مرتبطة خطياً (أي متوحدة في مستوٍ واحد) إذا وفقط إذا كان أحدها عبارة عن تركيب خطي للشعاعين الآخرين؛ أي يوجد عددان حقيقيان $\alpha$ و $\beta$ يحققان العلاقة التالية:
$$\vec{w} = \alpha \cdot \vec{u} + \beta \cdot \vec{v}$$
2. المبرهنات الحاكمة للانتماء المستوي
| الهدف الهندسي الفضائي | الشرط الشعاعي المحقق | النتيجة البرهانية |
|---|---|---|
| إثبات انتمائية نقط لمستوٍ | تكون أربع نقط $A$، $B$، $C$ و $D$ من نفس المستوي (حيث $A,B,C$ ليست في استقامية). | إذا وفقط إذا كانت الأشعة $\vec{AB}$، $\vec{AC}$ و $\vec{AD}$ مرتبطة خطياً؛ أي: $\vec{AD} = \alpha\vec{AB} + \beta\vec{AC}$. |
| تعيين توازي مستقيم ومستوٍ | ليكن $(D)$ مستقيماً موجهاً بـ $\vec{w}$، و $(P)$ مستوياً موجهاً بـ $\vec{u}$ و $\vec{v}$. | يكون المستقيم $(D)$ موازياً للمستوي $(P)$ إذا كانت الأشعة $\vec{u}$، $\vec{v}$ و $\vec{w}$ مرتبطة خطياً. |
3. مثال تطبيقي (إثبات انتمائية أربع نقط لمستوٍ واحد في مجسم)
ليكن $ABCD$ رباعي وجوه. نعتبر النقطتين $M$ و $N$ حيث:
$\vec{AM} = \vec{AB} + 2\vec{AC}$
$\vec{AN} = 2\vec{AB} - \vec{AD}$
أثبت أن الأشعة $\vec{AM}$، $\vec{AN}$ والشعاع $\vec{X} = 3\vec{AB} + 2\vec{AC} - \vec{AD}$ مرتبطة خطياً.
| المرحلة الحسابية | الخطوات الجبرية والتركيب الخطي | التعليل |
|---|---|---|
| 1. صياغة علاقة المجموع | نحاول كتابة الشعاع $\vec{X}$ بدلالة الشعاعين $\vec{AM}$ و $\vec{AN}$ بطريقة الجمع المباشر: $\vec{AM} + \vec{AN} = (\vec{AB} + 2\vec{AC}) + (2\vec{AB} - \vec{AD})$ | تعويض معطيات الأشعة المركبة. |
| 2. التبسيط والمطابقة | نجمع الحدود المتشابهة بدلالة أحرف رباعي الوجوه الأساسية: $\vec{AM} + \vec{AN} = 3\vec{AB} + 2\vec{AC} - \vec{AD}$ | الحصول على نفس عبارة الشعاع $\vec{X}$. |
| 3. صياغة الاستنتاج الجبري | بالمطابقة المباشرة نجد أن العبارة الجبرية الناتجة هي: $\vec{X} = 1 \cdot \vec{AM} + 1 \cdot \vec{AN}$. | وجدت المعاملات الحقيقية $\alpha = 1$ و $\beta = 1$. |
| 4. القرار الهندسي | بما أن الشعاع $\vec{X}$ كُتب على شكل تركيب خطي للشعاعين $\vec{AM}$ و $\vec{AN}$. | الأشعة الثلاثة مرتبطة خطياً (متوحدة في مستوٍ واحد). |
إذا كانت الأشعة الثلاثة تنطلق من نفس النقطة (مثل $\vec{AB}$، $\vec{AC}$، $\vec{AD}$)، فإن ارتباطها الخطي يضمن تماماً أن النقط الأربع $A, B, C, D$ تقع في نفس المستوي؛ أما إذا كانت الأشعة متباعدة، فإن ارتباطها الخطي يعني توازي حواملها مع مستوٍ وسيط واحد.