الارتباط الخطي لثلاثة أشعة والوجود في مستوٍ واحد

لا محاولة بعد...

1. مفهوم الأشعة المتوحدة في مستوٍ واحد (Coplanar Vectors)

نقول عن ثلاثة أشعة $\vec{u}$، $\vec{v}$ و $\vec{w}$ في الفضاء أنها متوحدة في مستوٍ واحد إذا أمكن رسم ممثلات لها تنطلق من نفس المبدأ وتقع حواملها جميعاً في مستوٍ واحد أو توازي مستوياً واحداً.

التعريف الجبري (الارتباط الخطي): تكون الأشعة غير المعدومة $\vec{u}$، $\vec{v}$ و $\vec{w}$ مرتبطة خطياً (أي متوحدة في مستوٍ واحد) إذا وفقط إذا كان أحدها عبارة عن تركيب خطي للشعاعين الآخرين؛ أي يوجد عددان حقيقيان $\alpha$ و $\beta$ يحققان العلاقة التالية:

$$\vec{w} = \alpha \cdot \vec{u} + \beta \cdot \vec{v}$$

2. المبرهنات الحاكمة للانتماء المستوي

الهدف الهندسي الفضائي الشرط الشعاعي المحقق النتيجة البرهانية
إثبات انتمائية نقط لمستوٍ تكون أربع نقط $A$، $B$، $C$ و $D$ من نفس المستوي (حيث $A,B,C$ ليست في استقامية). إذا وفقط إذا كانت الأشعة $\vec{AB}$، $\vec{AC}$ و $\vec{AD}$ مرتبطة خطياً؛ أي: $\vec{AD} = \alpha\vec{AB} + \beta\vec{AC}$.
تعيين توازي مستقيم ومستوٍ ليكن $(D)$ مستقيماً موجهاً بـ $\vec{w}$، و $(P)$ مستوياً موجهاً بـ $\vec{u}$ و $\vec{v}$. يكون المستقيم $(D)$ موازياً للمستوي $(P)$ إذا كانت الأشعة $\vec{u}$، $\vec{v}$ و $\vec{w}$ مرتبطة خطياً.

3. مثال تطبيقي (إثبات انتمائية أربع نقط لمستوٍ واحد في مجسم)

ليكن $ABCD$ رباعي وجوه. نعتبر النقطتين $M$ و $N$ حيث:
$\vec{AM} = \vec{AB} + 2\vec{AC}$
$\vec{AN} = 2\vec{AB} - \vec{AD}$
أثبت أن الأشعة $\vec{AM}$، $\vec{AN}$ والشعاع $\vec{X} = 3\vec{AB} + 2\vec{AC} - \vec{AD}$ مرتبطة خطياً.

المرحلة الحسابية الخطوات الجبرية والتركيب الخطي التعليل
1. صياغة علاقة المجموع نحاول كتابة الشعاع $\vec{X}$ بدلالة الشعاعين $\vec{AM}$ و $\vec{AN}$ بطريقة الجمع المباشر:
$\vec{AM} + \vec{AN} = (\vec{AB} + 2\vec{AC}) + (2\vec{AB} - \vec{AD})$		 تعويض معطيات الأشعة المركبة.
2. التبسيط والمطابقة نجمع الحدود المتشابهة بدلالة أحرف رباعي الوجوه الأساسية:
$\vec{AM} + \vec{AN} = 3\vec{AB} + 2\vec{AC} - \vec{AD}$		 الحصول على نفس عبارة الشعاع $\vec{X}$.
3. صياغة الاستنتاج الجبري بالمطابقة المباشرة نجد أن العبارة الجبرية الناتجة هي:
$\vec{X} = 1 \cdot \vec{AM} + 1 \cdot \vec{AN}$.		 وجدت المعاملات الحقيقية $\alpha = 1$ و $\beta = 1$.
4. القرار الهندسي بما أن الشعاع $\vec{X}$ كُتب على شكل تركيب خطي للشعاعين $\vec{AM}$ و $\vec{AN}$. الأشعة الثلاثة مرتبطة خطياً (متوحدة في مستوٍ واحد).

4. تطبيقات وتمارين

السابق: الارتباط الخطي لشعاعين واستقامية النقط
التالي: الجداء السلمي في الفضاء وتطبيقاته
الفهرس