تتحدد الوضعية النسبية لمستويين $(P_1)$ و $(P_2)$ في الفضاء بالاعتماد على دراسة الارتباط الخطي لشعاعيهما الناظميين $\vec{n_1}$ و $\vec{n_2}$، وتصنف الهندسة الفضائية هذه الوضعيات إلى حالتين رئيسيتين:
| الوضعية الهندسية | الشرط الشعاعي والجبري | طبيعة التقاطع المكون |
|---|---|---|
| المستويان متوازيان | يكون الشعاعان الناظميان $\vec{n_1}$ و $\vec{n_2}$ مرتبطين خطياً؛ أي يوجد عدد حقيقي $k$ يحقق: $\vec{n_1} = k \cdot \vec{n_2}$. | توازي تام: لا توجد نقط مشتركة. انطباق كامل: المستويان يشتركان في جميع النقط. |
| المستويان متقاطعان | يكون الشعاعان الناظميان $\vec{n_1}$ و $\vec{n_2}$ غير مرتبطين خطياً؛ أي لا يوجدان على استقامية واحدة. | يشتركان في مستقيم وحيد $(D)$ يسمى المستقيم المشترك أو فصلهما المشترك. |
عندما يكون المستويان متقاطعين، فإن إيجاد التمثيل الوسيطي لمستقيم تقاطعهما $(D)$ يتطلب حل جملة المعادلتين الديكارتيتين للمستويين، باتباع الخوارزمية التالية:
| الخطوة التحليلية | الآلية الجبرية المعتمدة | النتيجة الرياضية المستخرجة |
|---|---|---|
| 1. اختيار متغير كوسيط | نضع أحد المتغيرات الثلاثة ($x$ أو $y$ أو $z$) مساوياً للوسيط الحقيقي $t$. | تقليص عدد مجاهيل الجملة لتسهيل التعويض. |
| 2. حل الجملة الثنائية | نعوض $t$ في الجملة المكونة من المعادلتين، ثم نحسب المتغيرين المتبقيين بدلالة $t$ باستعمال الطرح أو التعويض. | كتابة إحداثيات النقط المشتركة بدلالة $t$. |
| 3. صياغة التمثيل الوسيطي | نجمع العبارات الثلاث المستخرجة داخل حاضنة لتشكل التمثيل الوسيطي للمستقيم $(D)$. | استنتاج نقطة معلومة وشعاع توجيه للمستقيم المشترك. |
نعتبر المستويين $(P_1)$ و $(P_2)$ المعرفين بالمعادلتين الديكارتيتين التاليين:
$(P_1): x + 2y - z - 1 = 0$
$(P_2): 2x - y + z - 2 = 0$
أثبت أن المستويين متقاطعان، ثم عين تمثيلاً وسيطياً لمستقيم تقاطعهما $(D)$.
| المرحلة الحسابية | الخطوات الجبرية | التعليل والنتيجة |
|---|---|---|
| 1. إثبات التقاطع | الناظم الأول: $\vec{n_1}(1; 2; -1)$، الناظم الثاني: $\vec{n_2}(2; -1; 1)$. مركبات الناظمين غير متناسبة: $\frac{1}{2} \neq \frac{2}{-1}$. |
الناظمين غير مرتبطين خطياً، إذن المستويان متقاطعان في مستقيم $(D)$. |
| 2. فرض الوسيط وحل الجملة | نضع $z = t$ حيث $t \in \mathbb{R}$. تصبح الجملة: $\begin{cases} x + 2y = 1 + t \quad (1) \\ 2x - y = 2 - t \quad (2) \end{cases}$ بضرب المعادلة (2) في العدد $2$ وجمعها مع (1): $(x + 2y) + (4x - 2y) = (1+t) + (4-2t) \implies 5x = 5 - t \implies x = 1 - \frac{1}{5}t$. بالتعويض في (1) نجد: $1 - \frac{1}{5}t + 2y = 1 + t \implies 2y = \frac{6}{5}t \implies y = \frac{3}{5}t$. |
حساب المتغيرات بدلالة الوسيط المختار. |
| 3. كتابة التمثيل الوسيطي النهائي | تجميع المعادلات المحسوبة في نسق هندسي واحد متبوعاً بمجال الوسيط الحقيقي. | $$(D): \begin{cases} x = 1 - \frac{1}{5}t \\ y = \frac{3}{5}t \\ z = t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$ وهو مستقيم يمر بـ $A(1;0;0)$ وموجه بـ $\vec{u}\left(-\frac{1}{5}; \frac{3}{5}; 1\right)$. |
يكون المستويان متعامدين هندسياً إذا وفقط إذا كان شعاعاهما الناظميان متعامدين تحليلياً؛ ويتم التحقق من ذلك بإظهار أن الجداء السلمي لـ $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}$ يساوي الصفر.