تتحدد الوضعية النسبية لمستقيم $(D)$ ومستوٍ $(P)$ في الفضاء بناءً على دراسة الارتباط الخطي بين شعاع توجيه المستقيم والشعاع الناظمي للمستوي، وتصنف إلى ثلاث وضعيات أساسية:
| الوضعية الهندسية | الشرط الشعاعي والتحليلي | عدد النقط المشتركة |
|---|---|---|
| المستقيم يقطع المستوي | شعاع توجيه المستقيم $\vec{u}$ ليس عمودياً على الشعاع الناظمي للمستوي $\vec{n}$؛ أي: $\vec{u} \cdot \vec{n} \neq 0$. | يشتركان في نقطة وحيدة $M_0$ (نقطة الاختراق). |
| المستقيم يوازي المستوي تماماً | شعاع التوجيه $\vec{u}$ عمودي على الشعاع الناظمي $\vec{n}$ ($\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$)، مع وجود نقطة من المستقيم لا تنتمي إلى المستوي. | لا توجد أي نقطة مشتركة بينهما (مجموعة خالية). |
| المستقيم محتوى في المستوي | شعاع التوجيه $\vec{u}$ عمودي على الشعاع الناظمي $\vec{n}$ ($\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$)، وتوجد نقطة من المستقيم تنتمي إلى المستوي. | المستقيم محتوى كلياً في المستوي (عدد غير منتهٍ من النقط المشتركة). |
لدراسة الوضعية النسبية تحليلياً بين مستقيم $(D)$ معرف بتمثيله الوسيطي ومستوٍ $(P)$ معرف بمعادلته الديكارتية $ax + by + cz + d = 0$، نتبع الخوارزمية التالية:
| الخطوة التحليلية | الآلية الجبرية المعتمدة | القرار الهندسي الناتجه |
|---|---|---|
| 1. التعويض الجداي | نعوض عبارات $x(t)$، $y(t)$ و $z(t)$ المستخرجة من التمثيل الوسيطي للمستقيم داخل المعادلة الديكارتية للمستوي. | الحصول على معادلة ذات مجهول واحد هو الوسيط $t$. |
| 2. حل المعادلة بدلالة $t$ | تبسيط العبارة الناتجة لتصبح على الشكل: $A \cdot t = B$. | تحليل طبيعة الحلول الممكنة للمعادلة الخطية. |
| 3. استنتاج الوضعية | * إذا وجد حل وحيد $t = t_0$: المستقيم يقطع المستوي، ونعوض $t_0$ في التمثيل الوسيطي لإيجاد النقطة. * إذا كانت المعادلة مستحيلة ($0 = B$): المستقيم يوازي المستوي تماماً. * إذا كانت المعادلة مطابقة ($0 = 0$): المستقيم محتوى في المستوي. |
تحديد التقاطع أو التوازي قطعيّاً. |
ليكن المستوي $(P)$ ذو المعادلة الديكارتية: $2x - y + z - 4 = 0$، والمستقيم $(D)$ المعرف بالتمثيل الوسيطي التالي:
$$\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$
ادرس الوضعية النسبية للمستقيم $(D)$ والمستوي $(P)$.
| المرحلة الحسابية | الخطوات الجبرية والتعويض | النتيجة |
|---|---|---|
| 1. التعويض في معادلة المستوي | نعوض $x, y, z$ بدلالة $t$ في معادلة المستوي: $2(1 + t) - (2 - t) + (3t) - 4 = 0$ |
تشكيل معادلة الوسيط |
| 2. التبسيط وحل المعادلة | ننشر العبارة الحسابية المكونة: $2 + 2t - 2 + t + 3t - 4 = 0 \implies 6t - 4 = 0 \implies 6t = 4$ |
$t = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ (حل وحيد) |
| 3. تعيين إحداثيات النقطة | نعوض قيمة $t = \frac{2}{3}$ في التمثيل الوسيطي للمستقيم: $x = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$ $y = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$ $z = 3(\frac{2}{3}) = 2$ |
نقطة الاختراق هي $M_0\left(\frac{5}{3}; \frac{4}{3}; 2\right)$ |
الارتباط الخطي بين شعاع التوجيه والشعاع الناظمي يمثل حالة تعامد هندسي بين المستقيم والمستوي؛ بينما تعامد شعاع التوجيه مع الناظمي يمثل توازياً هندسياً بين المستقيم والمستوي.