1. التأصيل الرياضي لمفهوم التقارب والتباعد

يستند السلوك التقاربي لمتتالية عددية $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ إلى دراسة غايتها التحليلية عندما يؤول المتغير الطبيعي $n$ حتماً نحو الجوار المفتوح لـ $+\infty$. وتُصنف المتتالية بأنها متقاربة (Convergent) إذا كانت نهايتها تستقر عند مقدار عددي حقيقي ثابت ومحدود $L$.

$\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = L \quad (L \in \mathbb{R})$

وفي المقابل، تُصنف المتتالية بأنها متباعدة (Divergent) إذا كانت غايتها الإجمالية غير محددة القيمة، أو تؤول بنيويّاً نحو الحواصر غير المحدودة $\pm\infty$.

النهايات المرجعية القياسية:

$\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0 \quad \text{و} \quad \lim\limits_{n \to +\infty} n^2 = +\infty$

2. المبرهنة المرجعية لنهاية المتتالية الهندسية

تخضع الغاية التحليلية للمتتالية الهندسية المعرفة بدستورها الأسي $u_n = u_0 \times q^n$ للمعايرة الجبرية المباشرة لنطاق الأساس الحقيقي $q$، وفق الأحكام البيداغوجية الصارمة الآتية:

3. مبرهنات المقارنة والحصر (مبرهنة الشطيرة)

تُعد مبرهنات المقارنة الأداة التحليلية البديلة لاستنتاج غايات النظم المعقدة التي يصعب فصل حدودها مباشرة؛ حيث يتم حصر التابع المنفصل بين متتاليتين معلومتي السلوك التقاربي وفق المنطوق الآتي:

إذا استقرت المتراجحة المشروطة $v_n \leq u_n \leq w_n$ عند جوهر المؤشر الطبيعي $n$، وثبت تقارب الطرفين للمقدار نفسه $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = \lim\limits_{n \to +\infty} w_n = L$، فإن:

$\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = L$

---