1. التأسيس الاصطلاحي والتعريف البنيوي

تُعرّف المتتالية الهندسية (Geometric Sequence) تحليليّاً بأنها كل تطبيق دالي منفصل يتأسس نظام التوليد التراجعي فيه على ضرب الحد الحالي في مقدار عددي ثابت $q$ (ينتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية $\mathbb{R}^*$) لاستخراج قيمة الحد الموالي مباشرة. ويُصطلح على تسمية هذا المؤثر السلمي الثابت بـ أساس المتتالية.

$u_{n+1} = u_n \times q \quad (n \in \mathbb{I} \subset \mathbb{N})$

2. الصياغة الدستورية لعبارة الحد العام

تُمثل عبارة الحد العام الصيغة الصريحة المستهدفة لتفعيل المقايسة الدالية المباشرة صلب الفضاء الأسي، مما يتيح حساب القيمة العددية لأي حد ذي دليل معلوم بدلالة حد مرجعي معلوم $u_p$ والأساس الجدائي $q$ وفق الدستور الأسي الآتي:

$u_n = u_p \times q^{(n-p)} \quad (n, p \in \mathbb{N} \text{ حيث } n \ge p)$

حالة تقييد حد البدء بالأصل الصفر $u_0$: يؤول الدستور التحليلي صراحة إلى العبارة المعايرة: $u_n = u_0 \times q^n$.

3. المقايسة المركبة لاتجاه التغير (الرتابة)

تخضع رتابة المتتالية الهندسية لشرط تركيبي مزدوج يربط بين الإشارة الجبرية للحد الأول وقيمة الأساس الحقيقي $q$ مقارنة بالواحد الصحيح. وتستقر أحكام اتجاه التغير للمتتاليات ذات الحدود الموجبة تماماً ($u_n > 0$) وفق المقايسة الآتية:

4. الخاصية الطوبولوجية للوسط الهندسي

إذا شكلت المقادير العددية غير المعدومة $a$ و $b$ و $c$ ثلاثة حدود متتابعة وفي وضعية ترتيبية صارمة لمتتالية هندسية، فإن التوازن الجبري يفرض تكافؤاً يقضي بأن مربع الحد الأوسط يعادل حاصل ضرب الحدين الطرفيين:

$b^2 = a \times c$

---