1. التأسيس الاصطلاحي والتعريف البنيوي

تُعرّف المتتالية الحسابية (Arithmetic Sequence) تحليليّاً بأنها كل تطبيق دالي منفصل يتأسس نظام التوليد التراجعي فيه على إضافة مقدار عددي ثابت $r$ (ينتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية $\mathbb{R}$) للحد الحالي لاستخراج قيمة الحد الموالي مباشرة. ويُصطلح على تسمية هذا المقدار السلمي الثابت بـ أساس المتتالية.

$u_{n+1} = u_n + r \quad (n \in \mathbb{I} \subset \mathbb{N})$

2. الصياغة الدستورية لعبارة الحد العام

تُمثل عبارة الحد العام الصيغة الصريحة المستهدفة للتحول من الفضاء التراجعي المقيد إلى المقايسة الدالية المباشرة، مما يتيح حساب القيمة العددية لأي حد ذي دليل معلوم بدلالة حد مرجعي معلوم $u_p$ والأساس $r$ وفق الدستور الخطي الآتي:

$u_n = u_p + (n-p)r \quad (n, p \in \mathbb{N} \text{ حيث } n \ge p)$

حالة تقييد حد البدء بالأصل الصفر $u_0$: يؤول الدستور التحليلي صراحة إلى العبارة المعايرة: $u_n = u_0 + nr$.

3. المقايسة التحليلية لاتجاه التغير (الرتابة)

تخضع رتابة المتتالية الحسابية بنيويّاً للإشارة الجبرية للفرق المحوري المستمر المقيد بـ $(u_{n+1} - u_n = r)$، وتستقر الأحكام المنهجية لاتجاه التغير وفق المعايرة الآتية:

4. الخاصية الطوبولوجية للوسط الحسابي

إذا شكلت المقادير العددية العزل $a$ و $b$ و $c$ ثلاثة حدود متتابعة وفي وضعية ترتيبية صارمة لمتتالية حسابية، فإن التوازن الجبري يفرض تكافؤاً يقضي بأن ضعف الحد الأوسط يعادل مجموع الحدين الطرفيين:

$2b = a + c$

---